Question

【题目】如图①，已知抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，已知点为抛物线第一象限上一动点，连接、、.

（1）求抛物线的解析式，并直接写出抛物线的顶点坐标；

（2）当的面积最大时，求出点的坐标；

（3）如图②，当点与抛物线顶点重合时，过点的直线与抛物线交于点，在直线上方的抛物线上是否存在一点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1），顶点坐标为；（2）点的坐标为；（3）存在，点的坐标为，理由见解析

【解析】

(1 )只需运用待定系数法就可求出二次函数的解析式，运用配方法就可求出抛物线的顶点坐标；

(2) 过点作轴，交线段于点，直线的表达式为:，设点的坐标为，则点坐标为,得出；可得，即可求出的面积最大时点的坐标；

（3）

在轴上取，连接，过直线与轴的交点作.利用勾股逆定理可得为直角三角形，，故，求出直线的表达式为，且点坐标为，联立即可得点的坐标为.解得：，，，可得，故，得出，求出直线的表达式为，及直线的表达式为联立可得点的坐标.

（1）将、代入得：

，

解得：.

∴抛物线的解析式为.

∴

∴顶点坐标为.

（2）过点作轴，交线段于点，

当时，，即，

设直线的表达式为，

将、代入得：

，解得：.

∴直线的表达式为，

设点的坐标为，则点坐标为，

∴；

∴，

∵，

∴当时，.

∴此时，

∴点的坐标为.

（3）存在.

在轴上取，连接，过直线与轴的交点作.

∵，，，

∴，，，

∴，

∴为直角三角形，，

∴，

∵直线过点，

∴，解得：.

∴直线的表达式为，且点坐标为，

由，解得：或，

即点的坐标为.

解得：，，，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴，

∵，，

∴直线的表达式为，

∴设直线的表达式为，

将点代入得：，解得：.

∴设直线的表达式为.

由解得：或，

即点的坐标为.