Question

（12分）如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋4与x轴交于A（－2,0）、B两点，与y轴交于C点，其对称轴为直线x＝1.

（1）直接写出抛物线的解析式 ：

（2）把线段AC沿x轴向右平移，设平移后A、C的对应点分别为A′、C′，当C′落在抛物线上时，求A′、C′的坐标；

（3）除（2）中的点A′、C′外，在x轴和抛物线上是否还分别存在点E、F，使得以A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形，若存在，求出E、F的坐标；若不存在，请说明理由.

 

Answer 1

（1）y＝；

（2）A′（0，0），C′（2，4）；

（3）存在点E、F，使得以A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形，点E、F的坐标为：

E（，0），F（，－4）或E（，0），F（，－4）

【解析】

试题分析：（1）根据点A（－2，0）和对称轴x＝1，得到关于a，b的二元一次方程组，求出a，b即可；

（2）因为向右平移后的点C′在抛物线上，所以点C与点C′关于直线x＝1对称，得到点C′的坐标是（2，4），从而A′的坐标是（0，0）；

（3）注意到点A，C是固定的点，点E，F是动点，所以构成的一定是以AC为边或以AC为对角线的平行四边形．因此要分类讨论：①以AC为边的平行四边形有三个，②以AC为对角线的平行四边形有一个.但要排除（2）中的与点A′，C′重合的情况.

试题解析：（1）y＝；

（2）∵抛物线的解析式：y＝，

∴当x＝0时，y＝4. ∴点C（0，4）.

∵抛物线的对称轴为x＝1，

∴点C关于x＝1的对称点C′的坐标为（2，4）.

∴点C向右平移了2个单位长度.

∴则点A向右平移后的点A′的坐标为（0，0）.

∴点A′，C′的坐标分别分（0，0），（2，4）.

（3）存在．设F（x，）．

若以A，C，E，F为顶点的四边形为平行四边形，则：

①AC为平行四边形的边，如答图1，

ⅰ）若CFEA为平行四边形，

则CF1∥AE1且CF1＝AE1，

此时，E1，F1分别与点A′，C′重合，与题意不符，舍去.

ⅱ）若CEFA为平行四边形，则AC∥FE且AC＝FE，

过点F2作F2D⊥x轴于点D，则易证Rt△AOC≌Rt△E2DF2，

∴DE＝2，DF2＝4．

∴，解得：x1＝,x2＝．

∴F2（，－4），F3（，－4）.

∴E2（，0），E3（，0）．

②若AC为平行四边形的对角线，如答图2．

则CF4∥E4A且CF4＝E4A，

∴F4（2，4），E4（－4，0）.

此时，F4与点C′重合，与题意不符，舍去.

综上所述，存在点E、F，使得以A，C，E，F为顶点的四边形为平行四边形，点E、F的坐标为：E（，0），F（，－4）或E（，0），F（，－4）.

考点：二次函数的性质；全等三角形的性质与判定；解一元二次方程；平行四边形的判定；分类思想.