Question

【题目】如图，已知抛物线与轴交于两点(A点在B点的左边)，与轴交于点．

（1）如图1，若△ABC为直角三角形，求的值；

（2）如图1，在（1）的条件下，点在抛物线上，点在抛物线的对称轴上，若以为边，以点、、、Q为顶点的四边形是平行四边形，求点的坐标；

（3）如图2，过点作直线的平行线交抛物线于另一点，交轴于点，若﹕=1﹕4． 求的值．

Answer 1

【答案】(1) ；(2) 和；(3)

【解析】

（1）设，，再根据根与系数的关系得到，根据勾股定理得到：、 ，根据列出方程，解方程即可；（2）求出A、B坐标，设出点Q坐标，利用平行四边形的性质，分类讨论点P坐标，利用全等的性质得出P点的横坐标后，分别代入抛物线解析式，求出P点坐标;

(3)过点作DH⊥轴于点,由::，可得::．设,可得 点坐标为，可得．设点坐标为.可证△∽△,利用相似性质列出方程整理可得到 ①,将代入抛物线上,可得②，联立①②解方程组，即可解答.

解：设，，则是方程的两根，

∴．

∵已知抛物线与轴交于点．

∴

在△中：，在△中：，

∵△为直角三角形，由题意可知∠°，

∴，

即，

∴,

∴,

解得:,

又,

∴．

由可知：,令则,

∴,

∴．

①以为边，以点、、、Q为顶点的四边形是四边形时,

设抛物线的对称轴为 ，l与交于点，过点作⊥l，垂足为点，

即∠°∠．

∵四边形为平行四边形,

∴∥,又l∥轴,

∴∠∠=∠,

∴△≌△,

∴,

∴点的横坐标为,

∴

即点坐标为．

②当以为边，以点、、、Q为顶点的四边形是四边形时，

设抛物线的对称轴为 ，l与交于点，过点作⊥l，垂足为点，

即∠°∠．

∵四边形为平行四边形,

∴∥,又l∥轴,

∴∠∠=∠,

∴△≌△,

∴,

∴点的横坐标为,

∴

即点坐标为

∴符合条件的点坐标为和．

过点作DH⊥轴于点,

∵::，

∴::．

设,则点坐标为,

∴．

∵点在抛物线上,

∴点坐标为,

由(1)知,

∴,

∵∥,

∴△∽△,

∴,

∴,

即①,

又在抛物线上,

∴②，

将代入①得：,

解得(舍去),

把代入②得:．