题目内容
如图，在正方形ABCD中，点M、N分别在AB、BC上，BM=BN，BP⊥CM于点P，连接PD、PN．（1）求证：
| BP |
| PC |
| BN |
| DC |
（2）若tan∠DCM=
| 5 |
| 2 |
分析：（1）由在正方形ABCD中，BP⊥CM，易证得△BPM∽△CPB，又由BM=BN，BD=DC，根据相似三角形的对应边成比例，即可证得
=
；
（2）易证得△PBN∽△PCD，又由tan∠DCM=
，易得
=
，然后由相似三角形面积比等于相似比的平方，即可求得△PDC的面积．
| BP |
| PC |
| BN |
| DC |
（2）易证得△PBN∽△PCD，又由tan∠DCM=
| 5 |
| 2 |
| BC |
| BM |
| 5 |
| 2 |
解答：（1）证明：∵正方形ABCD中，∠ABC=90°，BC=DC，
∴∠MBP+∠PBC=90°．
∵BP⊥CM，
∴∠PBC+∠BCP=90°．
∴∠MBP=∠BCP，
又∵∠BPM=∠CPB=90°，
∴△BPM∽△CPB，
∴
=
，
∵BC=DC，BM=BN，
∴
=
；
（2）解：∵正方形ABCD中，∠ABC=∠BCD=90°，
∴∠MBP+∠PBN=∠BCP+∠PCD．
又∵∠MBP=∠BCP，
∴∠PBN=∠PCD，
∵
=
．
∴△PBN∽△PCD，
在正方形ABCD中，AB∥CD，
∴∠DCM=∠BMC，
∵tan∠DCM=
，
∴tan∠BMC=
，
在Rt△MBC中，即
=
；
∵BC=DC，BM=BN，
∴
=
，
∴
=(
)2，
∵S△PBN=1，
∴S△PCD=
．
∴∠MBP+∠PBC=90°．
∵BP⊥CM，
∴∠PBC+∠BCP=90°．
∴∠MBP=∠BCP，
又∵∠BPM=∠CPB=90°，
∴△BPM∽△CPB，
∴
| BP |
| PC |
| BM |
| BC |
∵BC=DC，BM=BN，
∴
| BP |
| PC |
| BN |
| DC |
（2）解：∵正方形ABCD中，∠ABC=∠BCD=90°，
∴∠MBP+∠PBN=∠BCP+∠PCD．
又∵∠MBP=∠BCP，
∴∠PBN=∠PCD，
∵
| BP |
| PC |
| BN |
| DC |
∴△PBN∽△PCD，
在正方形ABCD中，AB∥CD，
∴∠DCM=∠BMC，
∵tan∠DCM=
| 5 |
| 2 |
∴tan∠BMC=
| 5 |
| 2 |
在Rt△MBC中，即
| BC |
| BM |
| 5 |
| 2 |
∵BC=DC，BM=BN，
∴
| DC |
| BN |
| 5 |
| 2 |
∴
| S△PBN |
| S△PCD |
| BN |
| DC |
∵S△PBN=1，
∴S△PCD=
| 25 |
| 4 |
点评：此题考查了相似三角形的判定与性质、正方形的性质以及三角函数的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想与转化思想的应用．
练习册系列答案
相关题目
如图：在正方形网格上有△ABC，△DEF，说明这两个三角形相似，并求出它们的相似比．
，交BC于点E．
23、如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD=CD，点E是边AC的中点，连接DE，DE的延长线与边BC相交于点F，AG∥BC，交DE于点G，连接AF、CG．
如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以斜边AB为边向外作正方形ABDE，且正方形对角线交于点O，连接OC，已知AC=5，OC=6