Question

如图所示，已知△ABC的内心为I，外心为O．
（1）试找出∠A与∠BOC，∠A与∠BIC的数量关系．
（2）由（1）题的结论写出∠BOC与∠BIC的关系．

Answer 1

分析：（1）根据一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半得到∠A与∠BOC的数量关系；根据角平分线的定义以及三角形的内角和定理确定∠A与∠BIC的数量关系．
（2）根据（1）中的数量关系消去∠A即可得到两角之间的关系．

解答：解：（1）如本题图，∠A为⊙O中

BC

所对的圆周角，由圆周角定理得∠A=

1

2

∠BOC．
∵I是△ABC的内心，
∴∠IBC=

1

2

∠ABC，∠ICB=

1

2

∠ACB．
∵∠ABC+∠ACB=180°-∠A，
∠IBC+∠ICB+∠BIC=180°，
∴∠BIC=180°-（∠IBC+∠ICB）=180°-（

1

2

∠ABC+

1

2

∠ACB）
=180°-

1

2

（180°-∠A）=90°+

1

2

∠A．

（2）由（1）得∠BIC=90°+

1

2

∠A=90°+

1

2

×

1

2

∠BOC=90°+

1

4

∠BOC，
即∠BOC和∠BIC的关系是∠BIC=90°+

1

4

∠BOC．

点评：此题中可以熟记：当O是外心时，则∠BOC=

1

2

∠A；当I是内心时，则∠BIC=90°+

1

2

∠A．