题目内容

如图，把含有30°角的三角板ABO置入平面直角坐标系中，A，B两点坐标分别为（3，0）和（0，3
3
）．动点P从A点开始沿折线AO-OB-BA运动，点P在AO，OB，BA上运动，速度分别为1，
3
，2（长度单位/秒）．一直尺的上边缘l从x轴的位置开始以
3
3
（长度单位/秒）的速度向上平行移动（即移动过程中保持l∥x轴），且分别与OB，AB交于E，F两点﹒设动点P与动直线l同时出发，运动时间为t秒，当点P沿折线AO-OB-BA运动一周时，直线l和动点P同时停止运动．
请解答下列问题：
（1）过A，B两点的直线解析式是______；
（2）当t﹦4时，点P的坐标为______；当t﹦______，点P与点E重合；
（3）①作点P关于直线EF的对称点P′．在运动过程中，若形成的四边形PEP′F为菱形，则t的值是多少？
②当t﹦2时，是否存在着点Q，使得△FEQ∽△BEP？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
（1）y=-
3
x+3
3
；（4分）

（2）（0，
3
），t=
9
2
；（4分）（各2分）

（3）①当点P在线段AO上时，过F作FG⊥x轴，G为垂足（如图1）
∵OE=FG，EP=FP，∠EOP=∠FGP=90°
∴△EOP≌△FGP，∴OP=PG﹒
又∵OE=FG=
3
3
t，∠A=60°，∴AG=
FG
tan60°
=
1
3
t
而AP=t，
∴OP=3-t，PG=AP-AG=
2
3
t
由3-t=
2
3
t得t=
9
5
；（1分）
当点P在线段OB上时，形成的是三角形，不存在菱形；
当点P在线段BA上时，
过P作PH⊥EF，PM⊥OB，H、M分别为垂足（如图2）
∵OE=
3
3
t，∴BE=3
3
-
3
3
t，∴EF=
BE
tan60°
=3-
t
3

∴MP=EH=
1
2
EF=
9-t
6
，又∵BP=2（t-6）
在Rt△BMP中，BP•cos60°=MP
即2（t-6）•
1
2
=
9-t
6
，解得t=
45
7
．（1分）
综上所述，t为
9
5
或
45
7
时，四边形PEP'F为菱形．

②存在﹒理由如下：
∵t=2，∴OE=
2
3
3
，AP=2，OP=1
将△BEP绕点E顺时针方向旋转90°，得到△B'EC（如图3）
∵OB⊥EF，
∴点B'在直线EF上，
∵C点横坐标绝对值等于EO长度，C点纵坐标绝对值等于EO-PO长度
∴C点坐标为（-
2
3
3
，
2
3
3
-1）
过F作FQ∥B'C，交EC于点Q，
则△FEQ∽△B'EC
由
BE
FE
=
B′E
FE
=
CE
QE
=
3
，可得Q的坐标为（-
2
3
，
3
3
）（1分）
根据对称性可得，Q关于直线EF的对称点Q'（-
2
3
，
3
）也符合条件．（1分）
练习册系列答案
相关题目
在平面直角坐标系内，O为坐标原点，点C坐标为（0，
3
），E点坐标为（1，0），将△COE沿直线CE折叠，点O落在点D处．
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（2）求点D的坐标；
（3）以CE为底边，且底角为30°的等腰三角形有几个？请写出这些等腰三角形顶点的坐标．
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（2）当t为何值时，△APQ与△AOB相似？
（3）当t为何值时，△APQ的面积最大？最大面积是多少？
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（1）写出底边长y关于腰长x的函数解析式（x为自变量）；
（2）写出自变量取值范围；
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甲、乙两人在直线跑道上同起点、同终点、同方向匀速跑步500m，先到终点的人原地休息．已知甲先出发2s．在跑步过程中，甲、乙两人的距离y（m）与乙出发的时间t（s）之间的关系如图所示，解答以下问题：
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某电视台“走基层”栏目的一位记者乘汽车赴320km外的农村采访，全程的前一部分为高速公路，后一部分为乡村公路．若汽车在高速公路和乡村公路上分别以某一速度匀速行驶，汽车行驶的路程y（单位：km）与时间x（单位：h）之间的关系如图所示，则下列结论正确的是（　　）
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汽车油箱中余油量Q（升）与它的行驶时间t（小时）之间为如图所示的一次函数关系，则其解析式为______．
如图，四边形A1B1C1O，A2B2C2C1，A3B3C3C2均为正方形．点A1，A2，A3和点C1，C2，C3分别在直线y=kx+b（k＞0）和x轴上，点B3的坐标是（
19
4
，
9
4
），则k+b=______．
阅读理解：对于三个数a，b，c用M{a，b，c}表示这三个数的平均数，用min{a，b，c}表示这三个数中最小的数．例如：M{-1，2，3}=
-1+2+3
3
=
4
3
，min{-1，2，3}=-1，min{-1，2，a}=
a(a≤-1)
-1(a＞-1)

问题解决：
（1）填空：min{-5，-
26
，-
1
2
}=______；
如果min{2，2x+2，4-2x}=2，则x的取值范围为______≤x≤______．
（2）①如果M{2，x+1，2x}=min{2，x+1，2x}，求x．
②根据①你发现了结论“如果M{a，b，c}=min{a，b，c}，那么______（填a，b，c的大小关系）”．证明你发现的结论．
③运用②的结论，填空：
若M{2x+y+2，x+2y，2x-y}=min{2x+y+2，x+2y，2x-y}，则x+y=______．
（3）在如图所示的同一直角坐标系中作出函数y=4x+1，y=x+2，y=-2x+4的图象．通过观察图象，填空：min{4x+1，x+2，-2x+4}的最大值为______．

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