题目内容

阅读理解：对于任意正实数a，b，（
a
-
b
）2≥0，∴a-2
ab
+b≥0，只有当a=b时，等号成立．
结论：在a+b≥2
ab
（a，b均为正实数）中，若ab为定值p，则a+b≥2
p
，
只有当a=b时，a+b有最小值2
p
．
根据上述内容，回答下列问题：
（1）若m＞0，只有当m=
1
1
时，m+
1
m
有最小值
2
2
；
（2）探索应用：已知A（-3，0），B（0，-4），点P为双曲线y=
12
x
(x＞0)上的任意一点，过点P作PC⊥x轴于点C，PD⊥y轴于D．求四边形ABCD面积的最小值，并说明此时四边形ABCD的形状．
分析：（1）由m+
1
m
≥2
m•
1
m
=2，当且仅当m=
1
m
时，取等号，即可求得此时m的值且m+
1
m
的最小值；
（2）首先设点P的坐标为（x，
12
x
），由已知即可得S四边形ABCD=S△OAD+S△OAB+S△OBC+S△OCD=
18
x
+2x+12，根据已知即可求得四边形ABCD面积的最小值，即此时点P的坐标，继而可求得此时四边形ABCD的形状．
解答：解：（1）∵m+
1
m
≥2
m•
1
m
=2，当且仅当m=
1
m
时，取等号，
又∵m＞0，
∴只有当m=1时，m+
1
m
有最小值为2；
故答案为：1，2；

（2）设点P的坐标为（x，
12
x
），
∴OD=
12
x
，OC=x，
∵A（-3，0），B（0，-4），
∴OA=3，OB=4，
∴S四边形ABCD=S△OAD+S△OAB+S△OBC+S△OCD=
1
2
OA•OD+
1
2
OA•OB+
1
2
OB•OC+
1
2
OD•OC=
1
2
×3×
12
x
+
1
2
×3×4+
1
2
×4×x+
1
2
×x×
12
x
=
18
x
+2x+12≥2
18
x
×2x
+12=24，
当且仅当
18
x
=2x时，取等号，
∵x＞0，
∴当x=3时，四边形ABCD面积的最小值为24；
∴OD=4，OC=3，
∴OD=OB=4，OA=OC=3，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AC⊥BD，
∴四边形ABCD是菱形．
∴当x=3时，四边形ABCD面积的最小值为24，且此时四边形ABCD是菱形．
点评：此题考查了反比例函数的性质、待定系数法求函数的解析式、几何不等式的应用以及菱形的判定等知识．此题综合性很强，难度较大，注意理解题意，掌握几何不等式的应用，注意数形结合、函数思想与方程思想的应用．
练习册系列答案
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阅读理解：
对于任意正实数a，b，因为(
a
-
b
)2≥0，所以a-2
ab
+b≥0，所以a+b≥2
ab
，只有当a=b时，等号成立．
结论：在a+b≥2
ab
（a，b均为正实数）中，若ab为定值p，则a+b≥2
p
，只有当a=b时，a+b有最小值2
p
．
（1）根据上述内容，回答下列问题：若m＞0，只有当m=
 
时，m+
1
m
有最小值
 
；
（2）探索应用：如图，有一均匀的栏杆，一端固定在A点，在离A端2米的B处垂直挂着一个质量为8千克的重物．若已知每米栏杆的质量为0.5千克，现在栏杆的另一端C用一个竖直向上的拉力F拉住栏杆，使栏杆水平平衡．试精英家教网问栏杆多少长时，所用拉力F最小？是多少？
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a
-
b
)2≥0，∴a-2
ab
+b≥0，∴a+b≥2
ab
，只有当a=b时，等号成立．
结论：在a+b≥2
ab
（a、b均为正实数）中，若ab为定值p，则a+b≥2
p
，只有当a=b时，a+b有最小值2
p
．
根据上述内容，回答：若m＞0，只有当m=
 
时，m+
1
m
有最小值
 
．
精英家教网阅读理解：对于任意正实数a，b，
∵（
a
-
b
）2≥0，
∴a-2
ab
+b≥0，
∴a+b≥2
ab
，只有当a=b时，等号成立．
结论：在a+b≥2
ab
（a，b均为正实数）中，若ab为定值P，则a+b≥2
p
，
当a=b，a+b有最小值2
p
．
根据上述内容，回答下列问题：
（1）若x＞0，x+
4
x
的最小值为
 
．
（2）探索应用：如图，已知A（-2，0），B（0，-3），点P为双曲线y=
6
x
（x＞0）上的任意一点，过点P作PC⊥x轴于点C，PD⊥y轴于点D．求四边形ABCD面积的最小值，并说明此时四边形ABCD的形状．
阅读理解：
对于任意正实数a，b，∵(
a
-
b
)2≥0，∴a-2
ab
+b≥0，∴a+b≥2
ab
，只有当a=b时，等号成立．若ab为定值P，则a+b≥2
P
，只有当a=b时，a+b有最小值2
P
．
（1）如图1，AB为半圆O的直径，C为半圆上的任意一点，（与点A、B不重合）过点C作CD⊥AB，垂足为D，AD=a，DB=b．根据图象验证，a+b≥2
ab
，并指出等号成立时的条件．

（2）根据上述内容，回答下列问题
①若m＞0，只有当m=
1
1
时，m+
1
m
有最小值为
2
2
．
②如图2所示：A（-3，0），B（0，-4），P为双曲线y=
12
x
(x＞0)上任意一点，过点P作PC⊥x轴于点C，PD⊥y轴于点D，求四边形ABCD面积的最小值，并说明此时ABCD的形状．
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对于任意正实数a、b，∵(
a
-
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ab
+b≥0，
∴a+b≥2
ab
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结论：在a+b≥2
ab
（a、b均为正实数）中，若ab为定值p，则a+b≥2
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，只有当a=b时，a+b有最小值2
p
．
（1）根据上述内容，回答下列问题：
若m＞0，只有当m=
1
1
时，m+
1
m
有最小值
2
2
．
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12
x
（x＞0）图象上的任意一点，过点P作PC⊥x轴于点C，PD⊥y轴于点D．求四边形ABCD面积的最小值．
（3）判断此时四边形ABCD的形状，说明理由．

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