Question

正△ABC内接于⊙O，M、N分别是AB、AC的中点，延长MN交⊙O于点D，连接BD交AC于P，则

PC

PA

=

 

．

Answer 1

分析：可延长NM交⊙O于E，设正三角形边长为a，ND=x，由相交弦定理，得ND•NE=AN•NC，代入得出x与a的比值，再由△PDN∽△PBC，得出其对应边成比例，进而通过线段之间的转化，即可得出结论．

解答：解：如图所示，延长NM交⊙O于E，设正三角形边长为a，ND=x，
由相交弦定理，得ND•NE=AN•NC，
即x(

a

2

+x)=

a

2

•

a

2

，
x2+

a

2

x-

a2

4

=0
∴x=

a

4

(

5

-1)?

x

a

=

5 -1

4

，
又△PDN∽△PBC，∴

PN

PC

=

ND

BC

=

x

a

=

5 -1

4

，
∴

2PN

PC

=

5 -1

2

?

2PN+PC

PC

=

5 +1

2

，
∵2•PN+PC=PN+（PN+PC）=PN+NC=PN+NA=PA，
∴

PC

PA

=

5 -1

2

．
故答案为：

5 -1

2

．

点评：本题主要考查了相似三角形的判定及性质以及相交弦定理的运用，能够利用其性质建立线段之间的联系，进而解题．