Question

如图，直角坐标系中直线AB交x轴，y轴于点A（4，0）与B（0，-3），现有一半径为1的动圆的圆心位于原点处，以每秒1个单位的速度向右作平移运动，则经过

 

秒后动圆与直线AB相切．

Answer 1

分析：在直角三角形OAB中，OA=4，OB=3，由勾股定理得AB=5，设⊙P经过x秒后与直线AB相切，过P点作AB的垂线，垂足为Q，PQ=1；
（1）当⊙P在直线AB的左边与直线AB相切时，AP=4-x，根据△APQ∽△ABO中的成比例线段求解；
（2）当⊙P在直线AB的右边与直线AB相切时，AP=x-4，根据△APQ∽△ABO中的成比例线段求解．

解答：解：∵OA=4，OB=3，
∴AB=5，
设⊙P经过x秒后与直线AB相切，过P点作AB的垂线，垂足为Q，则PQ=1；

（1）当⊙P在直线AB的左边与直线AB相切时，AP=4-x，
由△APQ∽△ABO得，

AP

AB

=

PQ

BO

，即

4-x

5

=

1

3

，
解得x=

7

3

；

（2）当⊙P在直线AB的右边与直线AB相切时，AP=x-4；
由△APQ∽△ABO得，

AP

AB

=

PQ

BO

，即

x-4

5

=

1

3

，
解得x=

17

3

．
故填

7

3

或

17

3

．

点评：本题考查了圆的切线性质，及解直角三角形的知识．运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．