Question

（2012•平谷区二模）已知：正比例函数y₁=k₁x（k₁≠0）和反比例函数y2=

k2

x

(k2≠0)的图象都经过点A（1，

3

）．
（1）求满足条件的正比例函数和反比例函数的解析式；
（2）设点P是反比例函数图象上的点，且点P到x轴和正比例函数图象的距离相等，求点P的坐标．

Answer 1

分析：（1）把A（1，

3

）分别代入y₁=k₁x（k₁≠0）和y2=

k2

x

(k2≠0)即可求得k₁，k₂的值；
（2）作PB⊥x轴于B，AC⊥x轴于C，根据A点坐标可得到∠AOC=60°，由于点P到x轴和正比例函数图象的距离相等，根据角平分线的性质得到∠POB=30°，设P点坐标（a，b），则a=

3

b，即P点坐标为（

3

b，b），设直线OP的解析式为y=mx，则可求出m=

3

3

，然后解由反比例函数的解析式和直线OP的解析式组成的方程组即可得到点P的坐标．

解答：解：（1）把A（1，

3

）分别代入y₁=k₁x（k₁≠0）和y2=

k2

x

(k2≠0)得k₁=

3

，k₂=

3

，
所以正比例函数和反比例函数的解析式分别为y=

3

x，y=

3

x

；

（2）作PB⊥x轴于B，AC⊥x轴于C，如图，
∵A点坐标为（1，

3

），即AC=

3

，OC=1，
∴tan∠AOC=

3

，
∴∠AOC=60°，
∵点P到x轴和正比例函数图象的距离相等，
∴∠POB=30°，
设P点坐标（a，b），则a=

3

b，即P点坐标为（

3

b，b），
设直线OP的解析式为y=mx，
把（

3

b，b）代入得b=

3

b•m，
∴m=

3

3

，
解方程组

y= 3 x y= 3 3 x

得

x= 3 y=1

或

x=- 3 y=-1

，
∴点P的坐标为（

3

，1）或（-

3

，-1）．

点评：本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：反比例函数与一次函数的交点坐标满足两函数的解析式．也考查了待定系数法求函数的解析式以及角平分线的性质．