Question

在Rt△ABC中，AB=3，BC=4，∠B=9O°，AD、BE、CF是△ABC的三条内角平分线．那么，△DEF的面积等于________．

Answer 1

分析：过F点作FQ⊥AC，过E点⊥作NE⊥AB，EM⊥BC，过D点作DH⊥AC．求证四边形NBME是正方形，设NE=x₁，根据S_{四边形NBME}+S_△ANE+S_△CEM=S_△ABC，解得x₁=；设BF=x₂．根据S_△AFQ+2S_△BFC=S_△ABC，解得x₂=，同理解得，x₃=，然后利用∴S_△DEF=S_△ABC-S_△AEF-S_△BFD-S_△CDE，将所得数值代入即可．
解答：解：过F点作FQ⊥AC，过E点⊥作NE⊥AB，EM⊥BC，过D点作DH⊥AC．
设NE=x₁，
∵BE平分∠B，且∠B=9O°，
∴四边形NBME是正方形，
则S_{四边形NBME}+S_△ANE+S_△CEM=S_△ABC，
则x₁²+x₁（4-x₁）+x₁（3-x₁）=×12，
解得，x₁=；
设BF=x₂．根据CF是∠C平分线，可得△QFC≌△BFC，
则S_△AFQ+2S_△BFC=S_△ABC，
则x₂×1+2（x₂×4）=×12，
解得，x₂=，
则AF=AB-x₂=；
设BD=x₃，
同理解得，x₃=，
则CD=4-=，
∴S_△DEF=S_△ABC-S_△AEF-S_△BFD-S_△CDE
=AB•BC-AF•NE-BF•FD-CD•EM
=6-（×）-（×）-（×）
=．
故答案为：．
点评：本题主要考查学生对角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，正方形的判定与性质等知识点的灵活运用，此题涉及到的知识点较多，需要做多条辅助线，计算步骤繁琐，要特别仔细认真，稍有疏忽就出错，属于难题．