Question

【题目】在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC=2,点P为BC边上的一个动点(不与B.C重合)点P关于直线AC、AB的对称点分别为M、N,连接MN交AC于点E,交AB于点F.

(1)当点P为线段BC的中点时,求∠M的正切值

(2)当点P在线段BC上运动时(不与B.C重合),连接AM、AN,求证：

①△AMN为等腰直角三角形

②△AEF∽△BAM

Answer 1

【答案】（1）；（2）证明见解析；

【解析】

(1)连接NB,如图1,先由△ACB为等腰直角三角形得到∠A=∠CBA=45°,则根据对称的性质得AB垂直PN,BN=BP,则∠NBA=∠PBA=45°,所以∠PBN=90°,接着计算出MC=CP=PB=NB=1,然后利用正切的定义求解

(2)①连接AP,如图2,利用对称的性质得AP=AM=AN,∠1=∠2,∠3=∠4,则∠MAN=90°,于是可判断△AMN为等腰直角三角形

②利用△AMN为等腰直角三角形得到∠5=∠6=45°,再证明∠AEF=∠BAM,加上∠B=∠EAF=45°,则根据相似三角形的判定可判断△AEF∽△BAM

(1)连接NB,如图1

∵在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC

∴△ACB为等腰直角三角形,

∴∠A=∠CBA=45°

∵点P关于直线AB的对称点为,关于直线AC的对称点为M,

∴AB垂直PN,BN=BP

∴∠NBA=∠PBA=45°

∴∠PBN=90°,

∵点P为BC的中点,BC=2,

∴MC=CP=PB=NB=1

∴tan∠M=

(2)证明:①连接AP,如图2,

∵点P关于直线AC、AB的对称点分别为M、N

∴AP=AM=AN，∠1=∠2,∠3=∠4

∴∠CAB=∠2+∠3=45°

∴∠MAN=90°

∴△AMN为等腰直角三角形

②∵△AMN为等腰直角三角形

∴∠5=∠6=45°

∴∠AEF=∠5+∠1=45°+∠1，

∵∠EAF=45°

∴∠BAM=∠EAF+∠1=45°+∠1

∴∠AEF=∠BAM,

又∵∠B=∠EAF=45°

∴△AEF∽△BAM