题目内容
19．在直角坐标系中，如果二次函数y=ax2+bx+2（a≠0）的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C（0，2），且AB=OC，那么我们称这个二次函数为和合二次函数．（1）判断二次函数y=x2+x+2和y=$\frac{2}{3}$x2+$\frac{8}{3}$x+2是否为和合二次函数，并说明理由；
（2）和合二次函数y=ax2+bx+2的图象经过点（-6，2）．
①求a与b的值；
②此函数图象可由抛物线y=ax2经过怎样的平移得到？
分析 （1）根据和合二次函数的定义判断即可；
（2）①根据抛物线与x轴的交点的求法和和合二次函数的定义列出方程组求出a、b的值即可；
②根据抛物线的平移规律作答．
解答 解：（1）y=x2+x+2与x轴没有交点，所以不是和合二次函数；
y=$\frac{2}{3}$x2+$\frac{8}{3}$x+2与x轴的交点坐标为A（-4，0），B（-2，0），
AB=2，
∴AB=OC，
∴y=$\frac{2}{3}$x2+$\frac{8}{3}$x+2是和合二次函数；
（2）①y=ax2+bx+2与x轴交点的横坐标为x1，x2，
则x1+x2=-$\frac{b}{a}$，x1•x2=$\frac{2}{a}$，
由题意得，
$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{8}{a}}=2}\\{36a-6b+2=2}\end{array}\right.$，
解得a=$\frac{1}{4}$，b=$\frac{3}{2}$；
②y=$\frac{1}{4}$x2-$\frac{3}{2}$x+2
=$\frac{1}{4}$（x-3）2-$\frac{1}{4}$，
抛物线y=$\frac{1}{4}$x2向右平移3个单位，再向下平移$\frac{1}{4}$个单位得到y=$\frac{1}{4}$（x-3）2-$\frac{1}{4}$．
点评 本题考查的是函数的新定义，掌握抛物线与x轴的交点、二次函数的性质和二次函数的平移规律是解题的关键．
练习册系列答案
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11．
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如图，在△ABC中，AB＞BC＞AC，小华依下列方法作图，①作∠C的角平分线交AB于点D；②作CD的中垂线，分别交AC，BC于点E，F；③连接DE，DF．根据小华所作的图，下列说法中一定正确的是（ ）| A． | 四边形CEDF为菱形 | B． | DE=DA | ||
| C． | DF⊥CB | D． | CD=BD |
如图所示，△ABC平移后得到△DEF．