Question

如图，已知∠A=∠B，AA₁，BB₁，PP₁均垂直于A₁B₁，AA₁=17，PP₁=16，BB₁=20，A₁B₁=12，则AP+PB=

 

．

Answer 1

分析：过P做A₁B₁平行线，得到两个直角三角形，利用勾股定理解出AP和BP的长，再计算AP+PB．

解答：解：方法一：如图：
∵AD=AA₁-A₁D=17-16=1；
BC=B₁B-B₁C=20-16=4；
又∵∠A=∠B
∴tan∠A=tan∠B
∴

DP

AD

=

CP

CB

∴CP=4DP
∴CP=

48

5

，DP=

12

5

．
∴AP=

AP2+DP2

 =

13

5

，BP=

BC2+CP2

=

52

5

．
故AP+PB=

13+52

5

=13．
方法二：过p点作A1B1平行线，分别交AA1于D点，交BB1于F点，延长BP交AA₁于C点，过C点作CG垂直于BB₁于G点．
∵AA₁，BB₁分别垂直于A₁B₁
∴AA₁∥BB₁
又∵∠A=∠B，
∴∠A=∠ACP，
∴三角形ACP为等腰三角形，AP=CP
∴AP+BP=CP+PB=CB
∵FD∥A₁B₁，
∴FD垂直于AA₁，
∴D为AC的中点
又∵PP₁=16，AA₁=17，BB₁=20
∴AD=DC=FG=1，BF=4
∴BG=BF+FG=4+1=5
∴在直角三角形CGB中
CG=A₁B₁=12
BG=5
CB²=CG²+BG²=12²+5²
∴CB=13=AP+PB

点评：考查了勾股定理和三角函数在直角三角形中的应用．