Question

如图所示，在平面直角坐标系中，以y轴上的点P为圆心的OP与x轴交于A、B两点，与y轴交于C．D两点，连接AC．
（1）若点E在AB上，EA=EC，求证：AC²=AE•AB；
（2）若∠BPO=60°，AC=，过点A的直线交y轴正半轴于点M（O，8），点R（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）在直线y=kx（k＞0）上，且x₁、x₂是方程x²-（k+2）x+4=O的两根；直线AM与直线y=kx交于点N，分别过P、Q，N作x轴的垂线，垂足分别为R’、Q'、N'．请找出OR'，OQ'，ON'之间的关系式，并加以证明．

Answer 1

证明：△ACE∽△ABC，
∴=，即AC²=AE•AB，
∵AC²=OC²+OA²=（AE²-OE²）+（OE+AE）²，
=AE²-OE²+OE²+AE²+2OE•AE，
=2AE²+2OE•AE，
=AE•2（AE+OE），
=AE•2OA，
∴AC²=AE•AB．

（2）∵∠BPO=60°，AC=AE，
∴∠OAC=∠ECA=∠BPO=30°，在直角三角形COA中，AC=，
∴OA=4，则直线AM的解析式y=-2x+8，
∵x₁、x₂是方程x²-（k+2）x+4=O的两根，
∴x₁+x₂=k+2，x₁x₂=4，于是+=+=，
又由得交点N的横坐标x=，
显然=，
∴+=．
分析：连接BC，证△ACE∽△ABC，根据相似比可求出第一问；根据直角三角形的性质求出AC，OA的长，根据根与系数的关系得到x₁+x₂=k+2，x_xx₂=4，于是OR′和OQ′与k的关系，根据的交点N的横坐标，从而求的k和ON′的关系，从而求得关系式．
点评：本题考查相似三角形的判定和性质以及根与系数的关系，两条直线相交或平行的问题的知识点等．