Question

附加题：
（1）已知x-y=2+a，y-z=2-a，且a²=7，试求x²+y²+z²-xy-yz-zx的值．
（2）已知对多项式2x³-x²-13x+k进行因式分解时有一个因式是2x+3，试求4k²+4k+1的值．

Answer 1

分析：（1）把已知条件相加求出x-z=4，然后求出三个等式的平方和，再代入数据整理即可得解；
（2）设因式分解的另一个因式为x²+ax+b，然后利用多项式的乘法运算法则展开，然后根据对应项系数相等列出方程组求出a、b、k的值，把多项式4k²+4k+1利用完全平方公式进行因式分解，代入k的值进行计算即可得解．

解答：解：（1）∵x-y=2+a，y-z=2-a，
∴x-z=4，
∴（x-y）²+（y-z）²+（x-z）²=（2+a）²+（2-a）²+4²，
即x²-2xy+y²+y²-2yz+z²+x²-2xz+z²=4+4a+a²+4-4a+a²+16，
整理得，2（x²+y²+z²-xy-yz-zx）=2（a²+12），
∵a²=7，
∴x²+y²+z²-xy-yz-zx=7+12=19；

（2）设因式分解的另一个因式为x²+ax+b，
则（2x+3）（x²+ax+b）=2x³+2ax²+2bx+3x²+3ax+3b=2x³+（2a+3）x²+（2b+3a）x+3b=2x³-x²-13x+k，
所以

2a+3=-1 2b+3a=-13 k=3b

，
解得

a=-2 b=- 7 2 k=- 21 2

，
所以，4k²+4k+1=（2k+1）²=[2×（-

21

2

）+1]²=（-20）²=400．

点评：本题考查了完全平方公式以及因式分解的意义，（1）中观察出所求代数式是x、y、z三数的差的平方和是解题的关键，（2）中根据因式分解与多项式的乘法是互逆运算求出k的值是解题的关键．