Question

（2012•咸丰县二模）如图所示，已知∠A₀的度数为α，∠A₀ME与∠A₀NE的角平分线相交于点A₁，∠A₁ME与∠A₁NE的角平分线相交于点A₂，∠A₂ME与∠A₂NE的角平分线相交于点A₃，…，依此类推得到点A_n，则∠A₀+∠A₁+∠A₂+∠A₃+…+∠A_n的度数为

2α[1-(

1

2

)n]

．

Answer 1

分析：由∠A₁CD=∠A₁+∠A₁BC，∠ACD=∠ABC+∠A，而A₁B、A₁C分别平分∠ABC和∠ACD，得到∠ACD=2∠A₁CD，∠ABC=2∠A₁BC，于是有∠A=2∠A₁，同理可得∠A₁=2∠A₂，即∠A=2²∠A₂，因此找出规律．

解答：解：∵A₁B、A₁C分别平分∠ABC和∠ACD，
∴∠ACD=2∠A₁CD，∠ABC=2∠A₁BC，
而∠A₁CD=∠A₁+∠A₁BC，∠ACD=∠ABC+∠A，
∴∠A=2∠A₁=α，
∴∠A₁=

1

2

α，
同理可得∠A₁=2∠A₂，
即∠A₀=2²∠A₂=α，
∴∠A₂=

1

4

α，
∴∠A₀=2ⁿ∠A_n，
∴∠A_n=(

1

2

)nα，
∴∠A₀+∠A₁+∠A₂+∠A₃+…+∠A_n=α+

1

2

α+

1

4

α+

1

16

α+…+(

1

2

)nα=

α[1-( 1 2 )n]

1- 1 2

=2α[1-(

1

2

)n]．
故答案是：2α[1-(

1

2

)n]．

点评：本题考查了三角形的内角和定理：三角形的内角和为180°．也考查了三角形的外角性质以及角平分线性质，难度适中．