Question

如图，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的角平分线相交于点O，过O作DE∥BC．
（1）求证：DE=BD+CE；
（2）如图，若过A作DE∥BC，其他条件不变，探索DE、AB、AC之间有什么关系？并证明你的结论．

Answer 1

分析：（1）根据角平分线的性质得∠1=∠2，由DE∥BC，根据平行线的性质得∠2=∠3，利用等量代换得到∠1=∠3，然后根据等腰三角形的判定得到DB=DO，同理可得EO=EC，于是有DE=DE+EO=DB+EC；
（2）根据角平分线的性质得∠1=∠2，由DE∥BC，根据平行线的性质得∠2=∠E，利用等量代换得到∠1=∠E，然后根据等腰三角形的判定得到AB=AE，同理可得AD=AC，于是有DE=AB+AC．

解答：证明：（1）∵OB平分∠ABC，
∴∠1=∠2，
∵DE∥BC，
∴∠2=∠3，
∴∠1=∠3，
∴DB=DO，
同理可得EO=EC，
∴DE=DE+EO=DB+EC；

（2）DE=AB+AC．理由如下：
∵OB平分∠ABC，
∴∠1=∠2，
∵DE∥BC，
∴∠2=∠E，
∴∠1=∠E，
∴AB=AE，
同理可得AD=AC，
∴DE=AD+AE=AB+AC．

点评：本题考查了等腰三角形的判定与性质：有两个角相等的三角形为等腰三角形；等腰三角形的两底角相等．也考查了平行线的性质．