Question

【题目】直线AB：分别于x，y轴交于A，B两点，过点B的直线交x轴正半轴于点C，且OB：OC=3：1.

（1）直接写出点A、B、C的坐标；

（2）在线段OB上存在点P，使点P到B，C的距离相等，求出点P的坐标；

（3）在x轴上方存在点D，使得以点A，B，D为顶点的三角形与△ABC全等，求出点D的坐标.

Answer 1

【答案】（1）A（，0）、B（0，3）、C（1，0）；（2）P（0，）；（3）（-4，3）或（-3，4）

【解析】

（1）分别令y=0,x=0求得点A、B的坐标，OB的长度，结合OB：OC=3：1可求出点C的坐标；

（2）设OP=x，则PB=PC=3-x，在Rt△POC中，利用勾股定理可得出关于x的一元一次方程，解方程即可；
（3）画出图形，分△BAD≌△ABC和△ABD≌△ABC两种情况考虑：①当△BAD≌△ABC时，由OA=OB可得出∠BAC=45°，由全等三角形的性质可得出∠ABD=∠BAC=45°、BD=AC=4，利用内错角相等两直线平行可得出BD∥AC，结合BD的长度即可得出点D的坐标；②当△ABD≌△ABC时，有∠BAD=∠BAC=45°、AD=AC=4，由∠DAC=∠BAD+∠BAC可得出∠DAC=90°，结合BD的长度可得出点D的坐标；

（1）当y=0时，则x+3=0,x=-3，即点A（－3，0）；

当x=0时，则y=3,即点B（0，3）；

所以OB=3,

又∵OB：OC=3：1，

∴OC＝1，

又∵过点B的直线交x轴正半轴于点C，

∴点C（1，0），

（2）如图所示：

设OP=x，则PB=PC=3-x．
在Rt△POC中，∠POC=90°，
∴OP2+OC2=PC2，即x2+12=（3-x）2，

解得x=,

∴点P（0，），

（3）如图所示：分△BAD≌△ABC和△ABD≌△ABC两种情况考虑

①当△BAD≌△ABC时，

∵OA=OB=3，
∴∠BAC=45°．
∵△BAD≌△ABC，
∴∠ABD=∠BAC=45°，BD=AC=4，
∴BD∥AC，
∴点D的坐标为（-4，3）；
②当△ABD≌△ABC时，∠BAD=∠BAC=45°，AD=AC=4，
∴∠DAC=90°，
∴点D的坐标为（-3，4）．
综上所述，点D的坐标为（-4，3）或（-3，4）．