Question

7．A，B两地被大山阻隔，若要从A地到B地，只能沿着如图所示的公路先从A地到C地，再由C地到B地．现计划开凿隧道A，B两地直线贯通，经测量得：∠CAB=30°，∠CBA=45°，AC=20km，求隧道开通后与隧道开通前相比，从A地到B地的路程将缩短多少？（结果精确到0.1km，参考数据：$\sqrt{2}$≈1.414，$\sqrt{3}$≈1.732）

Answer 1

分析 过点C作CD⊥AB与D，根据AC=20km，∠CAB=30°，求出CD、AD，根据∠CBA=45°，求出BD、BC，最后根据AB=AD+BD列式计算即可．

解答 解：过点C作CD⊥AB与D，
∵AC=20km，∠CAB=30°，
∴CD=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{1}{2}$×20=10km，
AD=cos∠CAB•AC=cos∠30°×20=10$\sqrt{3}$km，
∵∠CBA=45°，
∴BD=CD=10km，BC=$\sqrt{2}$CD=10$\sqrt{2}$≈14.14km
∴AB=AD+BD=10$\sqrt{3}$+10≈27.32km．
则AC+BC-AB≈20+14.14-27.32≈6.8km．
答：从A地到B地的路程将缩短6.8km．

点评 此题考查了解直角三角形的应用，用到的知识点是三角函数、特殊角的三角函数值，关键是作出辅助线，构造直角三角形，求出有关线段的长．