Question

在平面直角坐标系中，A、B为反比例函数的图象上两点，A点的横坐标与B点的纵坐标均为1，将的图象绕原点O顺时针旋转90°，A点的对应点为，B点的对应点为．

（1）求旋转后的图象解析式；

（2）求、点的坐标；

（3）连结．动点从点出发沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点运动；动点同时从点出发沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点运动，当其中一个点停止运动时另一个点也随之停止运动．设运动的时间为秒，试探究：是否存在使为等腰直角三角形的值，若存在，求出的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

解：（1）如图所示，∵点关于轴的对称点为，与轴交于点，

∴⊥轴于，，

．…………………………1分

∴．

∴，

由题意可知 ， ．

∴．

过点作轴于，轴于，

在中， ,   ．

由矩形得．

∵点在第四象限∴．……………………………2分

   （2）设经过、、三点的抛物线的解析式为.

        依题意得 ………………………3分

        解得 ∴此抛物线的解析式为．………………………4分

（3）∵，

∴点为抛物线的顶点．

∴直线为抛物线的对称轴，交于，

由题意可知 ，，

∴，

∴，

∴，

∴是等边三角形，．

∴．

①当点在上时，四边形为等腰梯形.

∵∥∥，与不平行，∴四边形为梯形.

要使梯形为等腰梯形，只需满足.

∵,∴点在上.

由、求得直线的解析式为.

又∵点在抛物线上，∴.

解得（与点重合，舍）.∴点横坐标为.

由、求得直线的解析式为.

∵点在上，∴ ．∴．………6分

②当点在上时，四边形为平行四边形，此时点坐标为. ……………………8分

综上所述，当时，为等腰梯形；当时，为平行四边形．