Question

已知直角三角形ABC的三边长分别为a，b，c，∠C=90°，求它的内切圆的半径r．
小明同学求得的结果是r=

1

2

（a+b-c）；小莉同学求得的结果是r=

ab

a+b+c

．你认为他们解答的结果都正确吗？如果你认为他们的解答都是正确的，请帮助他们写出解答的过程．

Answer 1

分析：连接OA、OB、OC、OE、OF、OD，得出正方形OECF，得出OE=OF=CF=CE=r，求出BE=BD=a-r，AF=AD=b-r，根据AB=c求出即可．

解答：解：都正确，．
理由是：连接OA、OB、OC、OE、OF、OD，
∵⊙O切BC于E，切AB于D，切AC于F，
∴BE=BD，AD=AF，CE=CF，∠OEC=∠OFC=90°，
∵∠ACB=90°，OE=OF，
∴四边形CEOF是正方形，
∴OE=OF=CE=CF=r，
∴BE=BD=a-r，AD=AF=b-r，
∵AB=c，
∴b-r+a-r=c，
∴r=

1

2

（a+b-c）；
∴小明求得的结果正确；
由三角形的面积公式得：S_△ACB=S_△BOC+S_△AOC+S_△AOB，
∴

1

2

ab=

1

2

ar+

1

2

br+

1

2

cr，
∴r=

ab

a+b+c

，
∴小莉求得的结果正确．

点评：本题考查了三角形的内切圆与内心，正方形性质和判定，切线长定理，三角形面积的应用，主要考查学生综合运用性质进行推理和计算的能力．