题目内容
【题目】小贤与小杰在探究某类二次函数问题时，经历了如下过程：
求解体验
(1)已知抛物线
经过点(-1,0),则
= ，顶点坐标为 ，该抛物线关于点(0,1）成中心对称的抛物线的表达式是 .
抽象感悟
我们定义：对于抛物线
,以
轴上的点
为中心，作该抛物线关于
点
对称的抛物线
,则我们又称抛物线为抛物线的“衍生抛物线”，点为“衍生中心”.
(2)已知抛物线
关于点
的衍生抛物线为，若这两条抛物线有交点，求
的取值范围.
问题解决
(3) 已知抛物线
①若抛物线的衍生抛物线为
,两抛物线有两个交点，且恰好是它们的顶点，求
的值及衍生中心的坐标；
②若抛物线关于点
的衍生抛物线为
,其顶点为
；关于点
的衍生抛物线为
，其顶点为
；…；关于点
的衍生抛物线为
，其顶点为
；…(
为
正整数).求
的长(用含的式子表示).
【答案】求解体验： 
；顶点坐标是(-2,1)；
；抽象感悟：
；问题解决：①
；（0，6）；②
【解析】(1)把(-1，0)代入
即可未出
=-4，然后把抛物线解析式变为顶点式即可求得抛物线的顶点坐标，继而可得顶点关于（0，1）的对称点，从而可写出原抛物线关于点(0，1）成中心对称的抛物线的表达式；
（2）先求出抛物线 
的顶点是（-1，6），从而求出 (-1，6)关于
的对称点是
，得 
，根据两抛物线有交点，可以确定方程 
有解，继而求得m的取值范围即可；
(3) ①先求出抛物线
以及抛物线
的衍生抛物线为
，的顶点坐标，根据两抛物线有两个交点，且恰好是它们的顶点，求
的值及再根据中点坐标公式即可求出衍生中心的坐标；
② 如图，设
，
… 
，
与轴分别相于
，
… 
，
，则
，
，… 
，
分别关于 ， … ， 中心对称，由题意则可得
，
… 
分别是△
，
…
的中位线，继而可得
，
，… 
，再根据点的坐标即可求得
的长.
求解体验
(1)把(-1，0)代入 得，
∴
，
∴顶点坐标是(-2，1)，
∵(-2，1)关于(0，1)的对称点是(2，1)，
∴成中心对称的抛物线表达式是：
，
即 (如图)
抽象感悟
(2) ∵ 
，
∴ 顶点是（-1，6），
∵ (-1，6)关于的对称点是，
∴ ，
∵ 两抛物线有交点，
∴ 有解，
∴ 
有解，
∴ 
，
∴ ；(如图)
问题解决
(3) ① ∵
=
，
∴ 顶点（-1，
），
代入 
得：
①
∵ 
，
∴ 顶点（1，
），
代入 得：
②
由① ② 得 
，
∵ 
，
，
∴ ，
∴ 两顶点坐标分别是（-1，0），（1，12），
由中点坐标公式得“衍生中心”的坐标是（0，6）；
② 如图，设 ， … ， 与轴分别相于 ，
… ， ，
则 ，
，… ， 分别关于 ， … ， 中心对称，
∴ ， … 分别是△ ， … 的中位线，
∴ ， ，… ，
∵
， 
，
∴ 
]
.
