Question

如图，在△ABC中，AC＞AB，D是BA延长线上的一点，点E是∠CAD平分线上一点，EB＝EC，过点E作EF⊥AC于点F，EG⊥AD于点G．

(1)请你在不添加辅助线的情况下：找出一对你认为全等的三角形，并加以证明；

(2)若AB＝3，AC＝5，求AF的长．

Answer 1

答案：
解析：

(1)△EGA≌△EFA(或△EGB≌△EFC)； 　　证明：因为AE平分∠CAD， 　　所以∠EAG＝∠EAF． 　　又因为EF⊥AC，EG⊥AD， 　　所以∠EGA＝∠EFA＝90°． 　　在△AEG和△AEF中， 　　∠EAG＝∠EAF，AE＝AE，∠EGA＝∠EFA， 　　所以△EGA≌△EFA(AAS)； 　　(2)证明：因为AE平分∠CAD，且EF⊥AC，EG⊥AD， 　　所以EG＝EF． 　　又∠EGB＝∠EFC＝90°， 　　在Rt△EGB和Rt△EFC中， 　　EG＝EF，EB＝EC． 　　所以Rt△EGB≌Rt△EFC． 　　所以BG＝CF． 　　又因为BG＝AB＋AG，CF＝AC－AF， 　　即AB＋AG＝AC－AF． 　　又因为△EGA≌△EFA， 　　所以AG＝AF． 　　所以2AF＝AC－AB＝5－3＝2． 　　所以AF＝1．