题目内容

如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过A（-1，0），B（3，0），C（0，3）三点，其顶点为D，连接BD，点P是线段BD上一个动点（不与B、D重合），过点P作y轴的垂线，垂足为E，连接BE．
（1）求抛物线的解析式，并写出顶点D的坐标；
（2）如果P点的坐标为（x，y），△PBE的面积为s，求s与x的函数关系式，写出自变量x的取值范围，并求出s的最大值；
（3）在（2）的条件下，当s取得最大值时，过点P作x的垂线，垂足为F，连接EF，把△PEF沿直线EF折叠，点P的对应点为P′，请直接写出P′点坐标，并判断点P′是否在该抛物线上．
（1）设y=a（x+1）（x-3），（1分）
把C（0，3）代入，得a=-1，（2分）
∴抛物线的解析式为：y=-x2+2x+3．（4分）
顶点D的坐标为（1，4）．（5分）

（2）设直线BD解析式为：y=kx+b（k≠0），把B、D两点坐标代入，
得
3k+b=0
k+b=4
，（6分）
解得k=-2，b=6．
∴直线BD解析式为y=-2x+6．（7分）
s=
1
2
PE•OE=
1
2
xy=
1
2
x（-2x+6）=-x2+3x，（8分）
∴s=-x2+3x（1＜x＜3）（9分）
s=-（x2-3x+
9
4
）+
9
4
=-（x-
3
2
）2+
9
4
．（10分）
∴当x=
3
2
时，s取得最大值，最大值为
9
4
．（11分）

（3）当s取得最大值，x=
3
2
，y=3，
∴P(
3
2
，3)．（5分）
∴四边形PEOF是矩形．
作点P关于直线EF的对称点P′，连接P′E、P′F．
法一：过P′作P′H⊥y轴于H，P′F交y轴于点M．
设MC=m，∵CO∥PF，
∴∠2=∠PFC，
由对称可知∠PFC=∠P′FC，
∴∠2=∠P′FC，
则MF=MC=m，P′M=3-m，P′E=
3
2
．
在Rt△P′MC中，由勾股定理，(
3
2
)2+(3-m)2=m2．
解得m=
15
8
．
∵CM•P′H=P′M•P′E，
∴P′H=
9
10
．
由△EHP′∽△EP′M，可得
EH
EP′
=
EP′
EM
，EH=
6
5
．
∴OH=3-
6
5
=
9
5
．
∴P′坐标(-
9
10
，
9
5
)．（13分）
法二：连接PP′，交CF于点H，分别过点H、P′作PC的垂线，垂足为M、N．
易证△CMH∽△HMP．
∴
CM
MH
=
MH
PM
=
1
2
．
设CM=k，则MH=2k，PM=4k．
∴PC=5k=
3
2
，k=
3
10
．
由三角形中位线定理，PN=8k=
12
5
，P′N=4k=
6
5
．
∴CN=PN-PC=
12
5
-
3
2
=
9
10
，即x=-
9
10
．
y=PF-P′N=3-
6
5
=
9
5

∴P′坐标（-
9
10
，
9
5
）．（13分）
把P′坐标（-
9
10
，
9
5
）代入抛物线解析式，不成立，所以P′不在抛物线上．（14分）
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1
3
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