题目内容
6．已知：直线y=-3x-6与x轴，y轴分别交于点A，B，点C在第三象，且△ABC为等腰直角二角形，∠ACB=90°，若点M（m，1），且△ABC的面积与△ABM的面积相等．（点P（x0，y0）到直线Ax+By+C=0（A2+B2≠0）的距离d=$\frac{|A{x}_{0}+B{y}_{0}+C|}{\sqrt{{A}^{2}+{B}^{2}}}$
（1）求过点C且与直线AB垂直的直线方程；
（2）求m的值．
分析 （1）由直线解析式，分别令x与y为0求出y与x的值，确定出A与B坐标，设C（x，y）（x＜0，y＜0），根据题意得BC2=AC2，BC2+AC2=AB2，列出关于x与y的方程组，求出方程组的解得到x与y的值，即可确定出C的坐标；根据互相垂直的两直线斜率之积为-1，可设所求直线解析式为y=$\frac{1}{3}$x+b，将C点坐标代入求出b的值即可；
（2）先求出△ABC的面积=10，那么△ABM的面积=10．根据点P（x0，y0）到直线Ax+By+C=0（A2+B2≠0）的距离d=$\frac{|A{x}_{0}+B{y}_{0}+C|}{\sqrt{{A}^{2}+{B}^{2}}}$的公式求出点M（m，1）到直线AB：3x+y+6=0的距离d即△ABM中AB边的高，再根据面积公式得出关于m的方程，解方程即可．
解答 解：（1）对于直线y=-3x-6，
令x=0，得到y=-6；令y=0，得到x=-2，
∴A（-2，0），B（0，-6），
∴AB2=22+62=40．
设C（x，y）（x＜0，y＜0），
根据题意得：BC2=AC2，BC2+AC2=AB2，
即$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+（y+6）^{2}=（x+2）^{2}+{y}^{2}}\\{{x}^{2}+（y+6）^{2}+（x+2）^{2}+{y}^{2}=40}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=-4}\\{{y}_{1}=-4}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=2}\\{{y}_{2}=-2}\end{array}\right.$（不合题意舍去）．
∴C（-4，-4）．
设过点C且与直线AB垂直的直线方程是y=$\frac{1}{3}$x+b，
将C点坐标代入，得-$\frac{4}{3}$+b=-4，
解得b=-$\frac{8}{3}$，
∴过点C且与直线AB垂直的直线方程是y=$\frac{1}{3}$x-$\frac{8}{3}$；
（2）∵△ABC的面积=$\frac{1}{2}$AC•BC=$\frac{1}{2}$AC2=$\frac{1}{4}$AB2=10，
∴△ABM的面积=10．
∵点M（m，1）到直线AB：3x+y+6=0的距离d=$\frac{|A{x}_{0}+B{y}_{0}+C|}{\sqrt{{A}^{2}+{B}^{2}}}$=$\frac{|3m+1+6|}{\sqrt{{3}^{2}+{1}^{2}}}$=$\frac{|3m+7|}{\sqrt{10}}$，AB=$\sqrt{40}$=2$\sqrt{10}$，
∴△ABM的面积=$\frac{1}{2}$×2$\sqrt{10}$×$\frac{|3m+7|}{\sqrt{10}}$=|3m+7|，
∴|3m+7|=10，
解得m=1或-$\frac{17}{3}$，
故所求m的值为1或-$\frac{17}{3}$．
点评 此题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数与坐标轴的交点，两点间的距离公式，等腰直角三角形的性质，三角形的面积，熟练掌握一次函数的性质是解本题的关键．
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