Question

设四边形ABCD是边长为1的正方形，以对角线AC为边作第二个正方形ACEF．再以对角线AE为边作第三个正方形，如此下去…
（1）记正方形ABCD的边长为a₁=1．按照上述方法所作的正方形边长依次记为a₂，a₃，a₄，…，请写出a₂，a₃，a₄的值；
（2）根据以上规律，请你写出用含字母n的代数式表示第n个正方形的边长．

Answer 1

分析：（1）求a₂的长即AC的长，根据直角△ABC中AB²+BC²=AC²可以计算，同理计算a₃、a₄．
（2）由（1）知，a₂=

2

a₂…，a_n=

2

a_n-1可以找出第n个正方形边长的表达式．

解答：解：（1）a₂=AC，且在直角△ABC中，AB²+BC²=AC²，
∴a₂=

2

a₁=

2

，
同理a₃=

2

a₂=（

2

）a₁=2，
a₄=

2

a₃=（

2

）3a₁=2

2

；
（2）由（1）结论可知：

a₂=

2

a₁=

2

，
a₃=

2

a₂=（

2

）a₁=2，
a₄=

2

a₃=（

2

）3a₁=2

2

；
…
故找到规律
a_n=（

2

）^n-1a₁=（

2

）^n-1．

点评：本题考查了勾股定理在直角三角形中的运用，考查了学生找规律的能力，本题中找到a_n的规律是解题的关键．