Question

4．己知关于x的方程x²-（k+2）x+$\frac{1}{4}$k²+1=0的两根x₁，x₂是一个矩形两边的长．
（1）k取何值时，方程的两根x₁，x₂都是正数．
（2）当矩形的对角线长是2$\sqrt{3}$时，求k的值？

Answer 1

分析 （1）根据△≥0，以及x₁+x₂=k+2＞0，列出不等式组即可解决问题．
（2）根据x₁²+x₂²=12，x₁+x₂=k+2，x₁x₂=$\frac{1}{4}$k²+1，转化为关于k的方程即可解决问题．注意第一个问题中k的条件的作用．

解答 解：（1）由题意$\left\{\begin{array}{l}{（k+2）^{2}-4（\frac{1}{4}{k}^{2}+1）≥0}\\{k+2＞0}\end{array}\right.$解得k≥0．
故k≥0时，方程的两根x₁，x₂都是正数．
（2）∵x₁²+x₂²=12，x₁+x₂=k+2，x₁x₂=$\frac{1}{4}$k²+1，
∴（k+2）²-2（$\frac{1}{4}$k²+1）=12，
∴k=-10或2，
∵k≥0，
∴k=2．

点评 本题考查根与系数的关系，不等式组的解，根的判别式等知识，解题的关键是灵活应用这些知识解决问题，学会整体代入的思想解决问题，属于中考常考题型．