Question

抛物线y=mx²-5mx+n与y轴正半轴交于点C，与x轴分别交于点A和点B（1，0），且OC²=OA•OB．
（1）求抛物线的解析式；　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
（2）点P是y轴上一点，当△PBC和△ABC相似时，求点P的坐标．

Answer 1

解：（1）由题意，得抛物线对称轴是直线，
∵点A和点B关于直线对称，点B（1，0），
∴A（4，0），
∵OC²=OA•OB=4×1=4，
∴OC=2，
∵点C在y轴正半轴上，
∴C（0，2），
∴；
（2）由题意，可得AB=3，，，
∵OC²=OA•OB，
∴，
又∠BOC=∠COA，
∴△BOC∽△COA，
∴∠OCB=∠OAC，
∴△PBC和△ABC相似时，分下列两种情况：
①当时，得，∴，
∴，
∴；
②当时，得，∴，
∴，
∴，
综合①、②当△PBC和△ABC相似时或．
分析：（1）由题意，得抛物线对称轴是直线，并且A和B关于直线对称，因为点B（1，0），所以A（4，0），又因为OC²=OA•OB，进而求出OC的长，所以C点的坐标可求，从而求出抛物线的解析式；
（2）首先△BOC∽△COA，所以∠OCB=∠OAC，所以当△PBC和△ABC相似时，分两种情况①当时②当时分别求出符合题意的OP的长，即可求出P点的坐标．
点评：本题考查了求二次函数的解析式、相似三角形的判定和性质，解题的关键是要注意分类讨论的数学思想运用，防止漏解．