Question

如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝7，CD＝1，AD＝BC＝5．点M，N分别在边AD，BC上运动，并保持MN∥AB，ME⊥AB，NF⊥AB，垂足分别为E，F．

（1）求梯形ABCD的面积； 

（2）求四边形MEFN面积的最大值．

（3）试判断四边形MEFN能否为正方形，若能，求出正方形MEFN的面积；若不能，请说明理由．

Answer 1

解：（1）分别过D，C两点作DG⊥AB于点G，CH⊥AB于点H．

∵ AB∥CD， 

∴ DG＝CH，DG∥CH． 

∴ 四边形DGHC为矩形，GH＝CD＝1． 

∵ DG＝CH，AD＝BC，∠AGD＝∠BHC＝90°，

∴ △AGD≌△BHC（HL）．  

∴ AG＝BH＝＝3．

∵ 在Rt△AGD中，AG＝3，AD＝5， 

∴ DG＝4．                                

∴ ．    

（2）

∵ MN∥AB，ME⊥AB，NF⊥AB， 

∴ ME＝NF，ME∥NF． 

∴ 四边形MEFN为矩形． 

∵ AB∥CD，AD＝BC，   

∴ ∠A＝∠B． 

∵ ME＝NF，∠MEA＝∠NFB＝90°，    

∴ △MEA≌△NFB（AAS）．

∴ AE＝BF．          

设AE＝x，则EF＝7－2x．   

∵ ∠A＝∠A，∠MEA＝∠DGA＝90°，   

∴ △MEA∽△DGA．

∴ ．

∴ ME＝．

∴ ．

当x＝时，ME＝＜4，∴四边形MEFN面积的最大值为．

（3）能．

由（2）可知，设AE＝x，则EF＝7－2x，ME＝． 

若四边形MEFN为正方形，则ME＝EF． 

    即 7－2x．解，得 ．

∴ EF＝＜4． 

∴ 四边形MEFN能为正方形，其面积为．