Question

【题目】如图，正方形ABCD的边AD与矩形EFGH的边FG重合，将正方形ABCD以1cm/s的速度沿FG方向移动，移动开始前点A与点F重合，在移动过程中，边AD始终与边FG重合，连接CG，过点A作CG的平行线交线段GH于点P，连接PD．已知正方形ABCD的边长为1cm，矩形EFGH的边FG，GH的长分别为4cm，3cm，设正方形移动时间为x（s），线段GP的长为y（cm），其中0≤x≤2.5．
（1）试求出y关于x的函数关系式，并求当y=3时相应x的值；
（2）记△DGP的面积为S1 ， △CDG的面积为S2 ． 试说明S1﹣S2是常数；
（3）当线段PD所在直线与正方形ABCD的对角线AC垂直时，求线段PD的长．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵CG∥AP，

∴∠CGD=∠GAP，

又∵∠CDG=∠AGP，

∴△GCD∽△APG，

∴ ，

∵GF=4，CD=DA=1，AF=x，

∴GD=3﹣x，AG=4﹣x，

∴ = ，即y= ，

∴y关于x的函数关系式为y= ，

当y=3时， =3，解得x=2.5，

经检验的x=2.5是分式方程的根．

故x的值为2.5

（2）解：∵S1= GPGD= （3﹣x）= （cm2），

S2= GDCD= （3﹣x）×1= （cm2），

∴S1﹣S2= ﹣ = （cm2），即为常数

（3）解：延长PD交AC于点Q．

∵正方形ABCD中，AC为对角线，

∴∠CAD=45°，

∵PQ⊥AC，

∴∠ADQ=45°，

∴∠GDP=∠ADQ=45°．

∴△DGP是等腰直角三角形，则GD=GP，

∴3﹣x= ，

化简得：x2﹣5x+5=0．

解得：x= ，

∵0≤x≤2.5，

∴x= ，

在Rt△DGP中，PD= = （3﹣x）= （cm）

【解析】（1）根据题意表示出AG、GD的长度，再由△GCD∽△APG，利用对应边成比例可解出x的值．（2）利用（1）得出的y与x的关系式表示出S1、S ， 然后作差即可．（3）延长PD交AC于点Q，然后判断△DGP是等腰直角三角形，从而结合x的范围得出x的值，在Rt△DGP中，解直角三角形可得出PD的长度．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用等腰直角三角形和矩形的性质的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握等腰直角三角形是两条直角边相等的直角三角形；等腰直角三角形的两个底角相等且等于45°；矩形的四个角都是直角，矩形的对角线相等．