Question

如图，已知A₁（1，0）、C（0，1），以A₁C为一边向外作长宽比为的矩形，再以A₂B₁为一边向外作长宽比为的矩形，以此类推，求：
（1）点B₁的坐标______，S_△A1A2B2=______；
（2）求S_△A1A2B2+S_△A2A3B3+…+S_{△AnAn+1Bn+1}=______．

Answer 1

解：（1）∵A₁（1，0）、C（0，1），
∴OA₁=OC=1，
∵∠A₁OC=90°，
∴A₁C==，∠OA₁C=∠OCA₁=45°，
∵以A₁C为一边向外作长宽比为的矩形，
∴A₁B₁=A₁C=2，∠B₁A₁A₂=180°-90°-45°=45°，
∴△A₁A₂B₁是等腰直角三角形，
∴A₁A₂=A₁B₁=2．
如图，作三角形A₁A₂B₁的高B₁D，则A₁D=B₁D=A₁A₂=，
∴OD=OA₁+A₁D=1+，
∴点B₁的坐标为（1+，）；
过点B₂作B₂E⊥x轴于点E，
易证三角形A₂A₃B₂是等腰直角三角形，
∵A₂B₁=A₁B₁=2，
∴A₂B₂=A₂B₁=2，
∴A₂A₃=A₂B₂=4，
∴B₂E=A₂A₃=2，
∴S_△A1A2B2=A₁A₂•B₂E=×2×2=2；

（2）过点B₃作B₃F⊥x轴于点F，
易证三角形A₃A₄B₃是等腰直角三角形，
∵A₃B₂=A₂B₂=2，
∴A₃B₃=A₃B₂=4，
∴A₃A₄=A₃B₃=4，
∴B₃F=A₃A₄=2，
∴S_△A2A3B3=A₂A₃•B₃F=×4×2=4；
同理，可得S_△A3A4B4=×4×4=8；
…
S_{△AnAn+1Bn+1}=2ⁿ；
∴S_△A1A2B2+S_△A2A3B3+…+S_{△AnAn+1Bn+1}=2+4+8+…+2ⁿ=（2+4+8+…+2ⁿ）=×=（2ⁿ⁺¹-2）．
故答案为（1+，），2；（2ⁿ⁺¹-2）．
分析：（1）先由勾股定理求出A₁C=，则A₁B₁=2，再作等腰直角三角形A₁A₂B₁斜边上的高B₁D，根据等腰直角三角形的性质求出A₁D和B₁D的长，进而得到点B₁的坐标；过点B₂作B₂E⊥x轴于点E，由于三角形A₂A₃B₂是等腰直角三角形，则B₂E=A₂A₃，然后根据三角形的面积公式即可求出S_△A1A2B2；
（2）过点B₃作B₃F⊥x轴于点F，易证三角形A₃A₄B₃是等腰直角三角形，则B₃F=A₃A₄=2，又A₂A₃=4，根据三角形的面积公式求出S_△A2A3B3=A₂A₃•B₃F=4；同理求出S_△A3A4B4=×4×4=8；…；S_{△AnAn+1Bn+1}=2ⁿ；然后根据等比数列的求和公式即可求解．
点评：本题考查了矩形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，三角形的面积，等比数列的求和，综合性较强，有一定难度．