Question

如图，已知A₁（1，0）、C（0，1），以A₁C为一边向外作长宽比为

2

：1的矩形，再以A₂B₁为一边向外作长宽比为

2

：1的矩形，以此类推，求：
（1）点B₁的坐标

 

，S_△A1A2B2=

 

；
（2）求S_△A1A2B2+S_△A2A3B3+…+S_{△AnAn+1Bn+1}=

 

．

Answer 1

分析：（1）先由勾股定理求出A₁C=

2

，则A₁B₁=2，再作等腰直角三角形A₁A₂B₁斜边上的高B₁D，根据等腰直角三角形的性质求出A₁D和B₁D的长，进而得到点B₁的坐标；过点B₂作B₂E⊥x轴于点E，由于三角形A₂A₃B₂是等腰直角三角形，则B₂E=

1

2

A₂A₃，然后根据三角形的面积公式即可求出S_△A1A2B2；
（2）过点B₃作B₃F⊥x轴于点F，易证三角形A₃A₄B₃是等腰直角三角形，则B₃F=

1

2

A₃A₄=2

2

，又A₂A₃=4，根据三角形的面积公式求出S_△A2A3B3=

1

2

A₂A₃•B₃F=4

2

；同理求出S_△A3A4B4=

1

2

×4

2

×4=8

2

；…；S_{△AnAn+1Bn+1}=2ⁿ

2

；然后根据等比数列的求和公式即可求解．

解答：解：（1）∵A₁（1，0）、C（0，1），
∴OA₁=OC=1，
∵∠A₁OC=90°，
∴A₁C=

O A 2 1 +OC2

=

2

，∠OA₁C=∠OCA₁=45°，
∵以A₁C为一边向外作长宽比为

2

：1的矩形，
∴A₁B₁=

2

A₁C=2，∠B₁A₁A₂=180°-90°-45°=45°，
∴△A₁A₂B₁是等腰直角三角形，
∴A₁A₂=

2

A₁B₁=2

2

．
如图，作三角形A₁A₂B₁的高B₁D，则A₁D=B₁D=

1

2

A₁A₂=

2

，
∴OD=OA₁+A₁D=1+

2

，
∴点B₁的坐标为（1+

2

，

2

）；
过点B₂作B₂E⊥x轴于点E，
易证三角形A₂A₃B₂是等腰直角三角形，
∵A₂B₁=A₁B₁=2，
∴A₂B₂=

2

A₂B₁=2

2

，
∴A₂A₃=

2

A₂B₂=4，
∴B₂E=

1

2

A₂A₃=2，
∴S_△A1A2B2=

1

2

A₁A₂•B₂E=

1

2

×2

2

×2=2

2

；

（2）过点B₃作B₃F⊥x轴于点F，
易证三角形A₃A₄B₃是等腰直角三角形，
∵A₃B₂=A₂B₂=2

2

，
∴A₃B₃=

2

A₃B₂=4，
∴A₃A₄=

2

A₃B₃=4

2

，
∴B₃F=

1

2

A₃A₄=2

2

，
∴S_△A2A3B3=

1

2

A₂A₃•B₃F=

1

2

×4×2

2

=4

2

；
同理，可得S_△A3A4B4=

1

2

×4

2

×4=8

2

；
…
S_{△AnAn+1Bn+1}=2ⁿ

2

；
∴S_△A1A2B2+S_△A2A3B3+…+S_{△AnAn+1Bn+1}=2

2

+4

2

+8

2

+…+2ⁿ

2

=

2

（2+4+8+…+2ⁿ）=

2

×

2(1-2n)

1-2

=（2ⁿ⁺¹-2）

2

．
故答案为（1+

2

，

2

），2

2

；（2ⁿ⁺¹-2）

2

．

点评：本题考查了矩形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，三角形的面积，等比数列的求和，综合性较强，有一定难度．