Question

16．已知关于x的一元二次方程x²-2x+k=0．
（1）若方程有实数根，求k的取值范围；
（2）如果k是满足条件的最大的整数，且方程x²-2x+k=0一根的相反数是一元二次方程（m-1）x²-3mx-7=0的一个根，求m的值及这个方程的另一根．

Answer 1

分析 （1）根据关于x的一元二次方程x²-2x+k=0有实数根，得出4-4k≥0，即可求出k的取值范围；
（2）先求出k的值，再代入方程x²-2x+k=0，求出x的值，再把x的值的相反数代入（m-1）x²-3mx-7=0，即可求出m的值．

解答 解：（1）∵关于x的一元二次方程x²-2x+k=0有实数根，
∴△=b²-4ac=4-4k≥0，
解得：k≤1．
∴k的取值范围是k≤1；

（2）当k≤1时的最大整数值是1，
则关于x的方程x²-2x+k=0是x²-2x+1=0，
解得：x₁=x₂=1，
∵方程x²-2x+k=0一根的相反数是一元二次方程（m-1）x²-3mx-7=0的一个根，
∴当x=-1时，（m-1）+3m-7=0，
解得：m=2．
则原方程为x²-6x-7=0，
解得x₁=7，x₂=-1，方程的另一根是7．
答：m的值是2．方程的另一根是7．

点评 此题主要考查一元二次方程根的判别式，解题的关键是根据方程有实数根，求出k的值；一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0?方程有两个不相等的实数根；（2）△=0?方程有两个相等的实数根；（3）△＜0?方程没有实数根．