题目内容
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如图1，抛物线y=ax2+bx+6（a≠0）与x轴交于点A（2，0）和点B（-6，0），与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；
（2）设抛物线的对称轴与x轴交于点M，在对称轴上存在点P，使△CMP为等腰三角形，请直接写出所有符合条件的点P的坐标；
（3）设点Q是抛物线对称轴上的一个动点，当点Q满足AC+QC最小时，求出Q点的坐标；
（4）如图2，若点E为第二象限抛物线上一动点，连接BE、CE，求四边形BOCE的面积的最大值，并求此时E点的坐标．
分析 （1）把A（2，0）和B（-6，0）代入y=ax2+bx+6解方程组即可．
（2）如图1中，分三种情形①当P1C=CM时，当MP2=MC时，当MP3=MC时，分别求解即可．
（3）如图2中，连接BC交对称轴于Q，此时QA+QC最小．求出直线BC的解析式，即可求出点Q坐标．
（4）如图3中，设E（m，-$\frac{1}{2}$m2-2m+6）．连接EO．根据S四边形BOCE=S△BOE+S△COE构建二次函数，利用二次函数的性质解决问题．
解答 解：（1）把A（2，0）和B（-6，0）代入y=ax2+bx+6得$\left\{\begin{array}{l}{4a+2b+6=0}\\{35a-6b+6=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{1}{2}}\\{b=-2}\end{array}\right.$，
∴抛物线的解析式为y=-$\frac{1}{2}$x2-2x+6．
（2）如图1中，
由题意C（0，6），M（-2，0），
∴CM=$\sqrt{{2}^{2}+{6}^{2}}$=2$\sqrt{10}$，
①当P1C=CM时，可得P1（-2，12），
②当MP2=MC时，P2（-2，2$\sqrt{10}$），
③当MP3=MC时，P3（-2．-2$\sqrt{10}$）．
综上所述满足条件的点P坐标（-2，12）或（-2，2$\sqrt{10}$）或（-2，-2$\sqrt{10}$）．
（3）如图2中，连接BC交对称轴于Q，此时QA+QC最小．
∵B（-6，0），C（0，6），
∴直线BC的解析式为y=x+6，
∴点Q（-2，4）．
（4）如图3中，设E（m，-$\frac{1}{2}$m2-2m+6）．连接EO．
∵S四边形BOCE=S△BOE+S△COE=$\frac{1}{2}$×6×（-$\frac{1}{2}$m2-2m+6）+$\frac{1}{2}$×6×（-m）=-$\frac{3}{2}$（m+3）2+$\frac{63}{2}$，
∵a=-$\frac{3}{2}$＜0，
∴m=-3时，四边形BOCE的面积最大，最大值为$\frac{63}{2}$，此时点E（-3，$\frac{15}{2}$）．
点评 本题考查二次函数综合题、待定系数法、等腰三角形的判定和性质、最值问题等知识，解题的关键是学会利用对称确定最短问题，学会构建二次函数解决最值问题，属于中考压轴题．
导学全程练创优训练系列答案
如图，AB、CD是⊙O的直径，弦CE∥AB，弧$\widehat{CE}$的度数为50°，求∠AOC的度数．| A． | AB=A′B′，BC=B′C′，∠A=∠A′ | B． | ∠A=∠A′，∠B=∠B′，AC=B′C′ | ||
| C． | ∠A=∠A′，∠B=∠B′，∠C=∠C′ | D． | AB=A′B′，BC=B′C′，AC=A′C′ |
| A． | 正方形的四个角都是直角 | B． | 正方形的对角线互相垂直 | ||
| C． | 邻边相等的矩形是正方形 | D． | 对角线相等的平行四边形是菱形 |
| A． | 1 | B． | 2 | C． | 3 | D． | 4 |