Question

【题目】如图，在正方形ABCD中，点E、G分别是边AD、BC的中点，AF= AB．

（1）求证：EF⊥AG；
（2）若点F、G分别在射线AB、BC上同时向右、向上运动，点G运动速度是点F运动速度的2倍，EF⊥AG是否成立（只写结果，不需说明理由）？
（3）正方形ABCD的边长为4，P是正方形ABCD内一点，当S△PAB=S△OAB ， 求△PAB周长的最小值．

Answer 1

【答案】
（1）

证明：∵四边形ABCD是正方形，

∴AD=AB，∠EAF=∠ABG=90°，

∵点E、G分别是边AD、BC的中点，AF= AB．

∴ = ， = ，

∴ ，

∴△AEF∽△BAG，

∴∠AEF=∠BAG，

∵∠BAG+∠EAO=90°，

∴∠AEF+∠EAO=90°，

∴∠AOE=90°，

∴EF⊥AG；

（2）

解：成立；理由如下：

根据题意得： = ，

∵ = ，

∴ ，

又∵∠EAF=∠ABG，

∴△AEF∽△BAG，

∴∠AEF=∠BAG，

∵∠BAG+∠EAO=90°，

∴∠AEF+∠EAO=90°，

∴∠AOE=90°，

∴EF⊥AG

（3）

解：过O作MN∥AB，交AD于M，BC于N，如图所示：

则MN⊥AD，MN=AB=4，

∵P是正方形ABCD内一点，当S△PAB=S△OAB，

∴点P在线段MN上，当P为MN的中点时，△PAB的周长最小，

此时PA=PB，PM= MN=2，

连接EG、PA、PB，则EG∥AB，EG=AB=4，

∴△AOF∽△GOE，

∴ = ，

∵MN∥AB，

∴ = ，

∴AM= AE= ×2= ，

由勾股定理得：PA= = ，

∴△PAB周长的最小值=2PA+AB= +4．

【解析】（1）由正方形的性质得出AD=AB，∠EAF=∠ABG=90°，证出 ，得出△AEF∽△BAG，由相似三角形的质得出∠AEF=∠BAG，再由角的互余关系和三角形内角和定理证出∠AOE=90°即可；（2）证明△AEF∽△BAG，得出∠AEF=∠BAG，再由角的互余关系和三角形内角和定理即可得出结论；（3）过O作MN∥AB，交AD于M，BC于N，则MN⊥AD，MN=AB=4，由三角形面积关系得出点P在线段MN上，当P为MN的中点时，△PAB的周长最小，此时PA=PB，PM= MN=2，连接EG，则EG∥AB，EG=AB=4，证明△AOF∽△GOE，得出 = ，证出 = ，得出AM= AE= ，由勾股定理求出PA，即可得出答案．
【考点精析】解答此题的关键在于理解勾股定理的概念的相关知识，掌握直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方,即;a2+b2=c2，以及对矩形的性质的理解，了解矩形的四个角都是直角，矩形的对角线相等．