Question

在矩形ABCD中，AB=6，E为CD的中点，AE⊥BD于点P．
（1）试说明：AE=BE；
（2）求sin∠DBE的值；
（3）求矩形ABCD的面积S．

Answer 1

分析：（1）根据矩形性质得出∠ADE=∠BCE=90°，AD=BC，求出CE=DE，证出△BCE≌△ADE即可；
（2）根据AB∥CD推出△PDE∽△PBA，得出比例式，求出AE=3PE=BE，根据锐角三角函数定义求出即可；
（3）根据勾股定理求出设AD=a，根据勾股定理求出BD²=AD²+AB²=a²+6²①，AE²=AD²+DE²=a²+3²②，推出BD²+AE²=2a²+45，根据BD=3PD，AE=3PE求出9（PD²+PE²）=2a²+45=DE²，求出a即可．

解答：解：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADE=∠BCE=90°，AD=BC
又∵E为AD中点，
∴CE=DE，
在△BCE和△ADE中

BC=AD ∠C=∠ADE CE=DE

∴△BCE≌△ADE，
∴AE=BE；

（2）当点E为CD中点时，

DE

BA

=

1

2

，
∵四边形ABCD为矩形
∴AB∥CD，
∴△PDE∽△PBA，
∴

PD

PB

=

PE

PA

=

DE

BA

=

1

2

，
由

PE

PA

=

1

2

可得

PE

EA

=

1

3

，
由（1）知EB=EA，
在Rt△PBE中，∠BPE=90°
∴sin∠DBE=

PE

EB

=

PE

EA

=

1

3

；

（3）设AD=a，
在Rt△BAD中，∠BAD=90°，BD²=AD²+AB²=a²+6²①，
在Rt△EAD中，∠EDA=90°，AE²=AD²+DE²=a²+3²②，
①、②联立可得BD²+AE²=2a²+45，
由（2）知：

PD

PB

=

PE

PA

=

1

2

，
∴BD=3PD，AE=3PE，
∴9（PD²+PE²）=2a²+45，
在Rt△PDE中，∠DPE=90°，则有PD²+PE²=DE²=9，
∴2a²+45=9×9，
解得a=±3

2

（舍去负值）
∴AD=3

2

，
∴S=AB•AD=18

2

．

点评：本题考查了全等三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定，勾股定理，矩形的性质等知识点的应用，主要考查学生综合运用知识进行推理的能力，难度偏大．