Question

【题目】（1）操作发现

如图①，在五边形中，，，试猜想之间的数量关系，小明经过仔细思考，得到如下解题思路：将绕点逆时针旋转90°至，由，得，即点三点共线，易证，故之间的数量关系是________；

（2）类比探究

如图②，在四边形中，，，点分别在边的延长线上，，连接，试猜想之间的数量关系，并给出证明；

（3）拓展延伸

如图③，在中，，，点均在边上，且，若，则的长为________．

Answer 1

【答案】（1）；（2），证明见解析；（3）．

【解析】

（1）如图1，将△ABC绕点A逆时针旋转90°至△AEF，由∠B=∠AED=90°，得∠DEF=180°，即点D，E，F三点共线，易证△ACD≌△AFD，可得结论；

（2）如图2，将△ABE绕点A逆时针旋转，使AB与AD重合，得到△ADE'，证明△AFE≌△AFE'，据全等三角形的性质解答；

（3）将△ABD绕点A逆时针旋转至△ACD'，使AB与AC重合，连接ED'，根据全等三角形的性质、勾股定理计算．

（1）BC，CD，DE之间的数量关系为：，理由是：

如图1，将△ABC绕点A逆时针旋转90°至△AEF，由∠B=∠AED=∠AEF=90°，得∠DEF=180°，即点D，E，F三点共线，

∵∠BAE=90°，∠CAD=45°，

∴∠BAC+∠DAE=∠DAE+∠EAF=45°，

∴∠CAD=∠FAD，

∵AD=AD，

∴△ACD≌△AFD（SAS），

∴CD=DF=DE+EF=DE+BC，

故答案为： CD=DE+BC；

（2）如图2，之间的数量关系是，

证明：将绕点逆时针旋转，使与重合，得到，则，

∴，，，，

∴，

∵，，

，即三点共线，

又，

∴，在和中，，，，

∴，

∴，

又∵，

∴．

（3）如图3，将绕点逆时针旋转至，使与重合，连接，则，

由（1）同理得，，

∴．

∵，

∴，

在中，，

即．