Question

【题目】如图，，点在上，过点，分别与、交于、，过作于．

求证：是的切线；

若与相切于点，的半径为，，求长．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）8.

【解析】

（1）连接OD，由AB=AC，利用等边对等角得到一对角相等，再由OB=OD，利用等边对等角得到一对角相等，等量代换得到一对同位角相等，利用同位角相等两直线平行得到OD与AC平行，根据DF垂直于AC，得到DF垂直于OD，即可确定出DF为圆O的切线；

（2）连接OG，由AC为圆O的切线，利用切线的性质得到OG垂直于AC，利用三个角为直角且邻边相等的四边形为正方形得到ODFG为正方形，且边长为3，设AB=AC=x，表示出OA与AG，在直角三角形AOG中，利用勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，即为AC的长．

（1）连接OD．

∵AB=AC，∴∠B=∠C．

∵OB=OD，∴∠B=∠ODB，∴∠ODB=∠C，∴OD∥AC．

∵DF⊥AC，∴OD⊥DF，则DF为圆O的切线；

（2）连接OG．

∵AC与圆O相切，∴OG⊥AC，∴∠OGF=∠GFD=∠ODF=90°，且OG=OD，∴四边形ODFG为边长为3的正方形，设AB=AC=x，则有AG=x﹣3﹣1=x﹣4，AO=x﹣3．

在Rt△AOG中，利用勾股定理得：AO2=AG2+OG2，即（x﹣3）2=（x﹣4）2+32，解得：x=8，则AC=8．