题目内容
某县社会主义新农村建设办公室，为了解决该县甲、乙两村和一所中学长期存在的饮水困难问题，想在这三个地方的其中一处建一所供水站，由供水站直接铺设管道到另外两处。
如图，甲、乙两村坐落在夹角为30°的两条公路的AB段和CD段（村子和公路的宽均不计），点M表示这所中学。点B在点M的北偏西30°的3km处，点A在点M的正西方向，点D在点M的南偏西60°的
km处。
为使供水站铺设到另两处的管道长度之和最短，现有如下三种方案：
方案一：供水站建在点M处，请你求出铺设到甲村某处和乙村某处的管道长度之和的最小值；
方案二：供水站建在乙村（线段CD某处），甲村要求管道铺设到A处，请你在图①中，画出铺设到点A和点M处的管道长度之和最小的线路图，并求其最小值；
方案三：供水站建在甲村（线段AB某处），请你在图②中，画出铺设到乙村某处和点M处的管道长度之和最小的线路图，并求其最小值。
综上，你认为把供水站建在何处，所需铺设的管道最短？
解：方案一：由题意可得：MB⊥OB，
∴点M到甲村的最短距离为MB。
∵点M到乙村的最短距离为MD，
∴将供水站建在点M处时，管道沿MD、MB线路铺设的长度之和最小，
即最小值为MB+MD=3+
（km）
方案二：如图①，作点M关于射线OE的对称点M′，则MM′＝2ME，
连接AM′交OE于点P，PE∥AM，PE＝
。
∵AM＝2BM＝6，∴PE＝3
在Rt△DME中，
∵DE＝DM?sin60°＝×
＝3，ME＝
＝
×
，
∴PE＝DE，∴ P点与E点重合，即AM′过D点。
在线段CD上任取一点P′，连接P′A，P′M，P′M′，则P′M＝P′M′。
∵A P′＋P′M′＞AM′，
∴把供水站建在乙村的D点处，管道沿DA、DM线路铺设的长度之和最小，
即最小值为AD＋DM＝AM′＝
方案三：作点M关于射线OF的对称点M′，作M′N⊥OE于N点，交OF于点G，
交AM于点H，连接GM，则GM＝GM′
∴M′N为点M′到OE的最短距离，即M′N＝GM＋GN
在Rt△M′HM中，∠MM′N＝30°，MM′＝6，
∴MH＝3，∴NE＝MH＝3
∵DE＝3，∴N、D两点重合，即M′N过D点。
在Rt△M′DM中，DM＝，∴M′D＝
在线段AB上任取一点G′，过G′作G′N′⊥OE于N′点，连接G′M′，G′M，
显然G′M＋G′N′＝G′M′＋G′N′＞M′D
∴把供水站建在甲村的G处，管道沿GM、GD
线路铺设的长度之和最小，即最小值为
GM＋GD＝M′D＝。
综上，∵3＋＜，
∴供水站建在M处，所需铺设的管道长度最短。
km处．
km处．
