Question

4．如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=6cm，BC=12cm，点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向C点以2cm/s的速度移动．
（1）如果点P、Q分别从A、B同时出发，几秒钟后，△PBQ的面积等于8cm²？
（2）在（1）中，△PBQ的面积能否等于△ABC面积的一半？说明理由；
（3）几秒后，点P，点Q相距4$\sqrt{2}$cm？

Answer 1

分析 （1）设经过x秒钟，使△PBQ的面积为8cm²，得到BP=6-x，BQ=2x，根据三角形的面积公式得出方程$\frac{1}{2}$×（6-x）×2x=8，求出即可；
（2）△ABC面积为36cm²，同（1）列方程解答即可；
（3）设t秒后，点P，点Q相距4$\sqrt{2}$cm，依题意得BP=6-t，BQ=2t，利用勾股定理列方程求解．

解答 解：（1）设经过x秒钟，使△PBQ的面积为8cm²，
BP=6-x，BQ=2x，
∵∠B=90°，
∴$\frac{1}{2}$BP×BQ=8，
∴$\frac{1}{2}$（6-x）×2x=8，
∴x₁=2，x₂=4．
答：如果点P、Q分别从A、B同时出发，经过2或4秒钟，使△PBQ的面积为8cm²．
（2）由题意得$\frac{1}{2}$BP×BQ=$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$×12×6，
$\frac{1}{2}$（6-x）×2x=18，
x²-6x+18=0，
△=36-72=-36＜0，
此方程无解，△PBQ的面积不能等于△ABC面积的一半；
（3）设t秒后，点P，点Q相距4$\sqrt{2}$cm，由题意得：
（2t）²+（6-t）²=32，
整理得：（5x-2）（x-2）=0，
解得：x₁=$\frac{2}{5}$，x₂=2，
∵BC=3cm，
∴x=2不合题意．
答：$\frac{2}{5}$秒后，点P，点Q相距4$\sqrt{2}$cm．

点评 此题主要考查了一元二次方程的应用，关键是利用三角形的面积与勾股定理得出等量关系解决问题．