Question

（2013•朝阳区二模）如图，在平行四边形ABCD中，AD=4，∠B=105°，E是BC边的中点，∠BAE=30°，将△ABE沿AE翻折，点B落在点F处，连接FC，求四边形ABCF的周长．

Answer 1

分析：如图，作BG⊥AE，垂足为点G，利用勾股定理，在Rt△BGE中求得BG=GE=

2

，则在Rt△ABG中，AB=AF=2BG=2

2

，在Rt△ECF中，FC=

EF2+EC2

=2

2

．所以利用四边形的周长定义来求四边形ABCF的周长即可．

解答：解：如图，作BG⊥AE，垂足为点G，
∴∠BGA=∠BGE=90°．
在平行四边形ABCD中，AD=BC=4，
∵E是BC边的中点，
∴BE=EC=

1

2

BC=

1

2

AD=2．
在△ABE中，∵∠BAE=30°，∠ABC=105°，∴∠BEG=45°．
由折叠的性质得△ABE≌△AFE．
∴AB=AF，BE=FE，∠BEF=90°．
在Rt△BGE中，BG=GE=

2

．
则在Rt△ABG中，AB=AF=2BG=2

2

．
在Rt△ECF中，FC=

EF2+EC2

=2

2

．
∴四边形ABCF的周长是AB+BC+FC+AF=2AB+BC+FC=4+6

2

．

点评：本题考查了平行四边形的性质、勾股定理以及全等三角形的判定与性质．解题时，利用了直角三角形中，30度角所对的直角边是斜边的一半．