Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点，以为边作正方形，请解决下列问题：

（1）求点和点的坐标；

（2）求直线的解析式；

（3）在直线上是否存在点，使为等腰三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，说明理由.

Answer 1

【答案】（1）点，点；（2）；（3）点，点．

【解析】

（1）根据待定系数法，可得直线的解析式是：，进而求出，过点作轴于点，易证，从而求出点D的坐标；

（2）过点作轴于点，证得：，进而得，根据待定系数法，即可得到答案；

（3）分两种情况：点与点重合时， 点与点关于点中心对称时，分别求出点P的坐标，即可．

（1）经过点，

，

直线的解析式是：，

当时，，解得：，

点，

过点作轴于点，

在正方形中，，，

，

，

，

，

在和中，

∵，

∴，

，

点；

（2）过点作轴于点，

同上可证得：，

∴CM=OB=3，BM=OA=4，OB=3+4=7，

∴，

设直线得解析式为：（为常数），

代入点得：，解得：，

∴直线的解析式是：；

（3）存在，理由如下：

点与点重合时，点；

点与点关于点中心对称时，过点P作PN⊥x轴，

则点C是BP的中点，CMPN，

∴CM是的中位线，

∴PN=2CM=6，BN=2BM=8，

∴ON=3+8=11，

∴点

综上所述：在直线上存在点，使为等腰三角形，坐标为：，．