Question

如图，△ABC内接于⊙O，AB的延长线与过C点的切线GC相交于点D，

BE与AC相交于点F，且CB＝CE，求证：（1）BE∥DG；（2）CB²－CF²＝BF·FE．

Answer 1

【略证】（1）∵  CG为⊙O的切线，

∴  ∠EBC＝∠GCE．

∵  CB＝CE，∴  ．

∴  ∠EBC＝∠E．∴  ∠E＝∠GCE．∴  GC∥EB．

（2）∵  ∠EBC＝∠E＝∠A，∠FCBO为公共角，

∴  △CBF∽△CAB．

∴  CB²＝CF·CA＝CF·（CF＋AF）＝CF²＋CF·AF．

由相交弦定理，得  CF·FA＝BF·FE，

∴  CB²＝CF²＋BF·FE．即  CB²－CF²＝BF·FE．