Question

设S=

1

13

+

1

23

+

1

33

+…+

1

993

，则4S的整数部分等于

4

．

Answer 1

分析：由于

1

k3

＜

1

k(k2-1)

=

1

2

[

1

(k-1)k

-

1

k(k+1)

]，由此可以得到1＜S=1+

1

23

+

1

33

+…+

1

993

＜1+

1

2

(

1

2

-

1

99×100

)＜

5

4

，然后即可求出4S的整数部分．

解答：解：当k=2，3…2011，
因为

1

k3

＜

1

k(k2-1)

=

1

2

[

1

(k-1)k

-

1

k(k+1)

]，
所以1＜S=1+

1

23

+

1

33

+…+

1

993

＜1+

1

2

(

1

2

-

1

99×100

)＜

5

4

．
于是有4＜4S＜5，
故4S的整数部分等于4．
故答案为：4．

点评：此题主要考查了部分分式的计算，解题的关键是利用了

1

k3

＜

1

k(k2-1)

=

1

2

[

1

(k-1)k

-

1

k(k+1)

]．