Question

如图，已知正方形ABCD的边CD在正方形DEFG的边DE上，连接AE、GC．

(1)试猜想AE与GC有怎样的位置关系，并证明你的结论．

(2)将正方形DEFG绕点D按顺时针方向旋转，使点E落在BC边上，如图，连接AE和GC．你认为(1)中的结论是否还成立？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由．

Answer 1

答案：
解析：

(1)答：AE^ GC． 　　[证明]延长GC交AE于点H．在正方形ABCD与正方形DEFG中，AD＝DC，Ð ADE＝Ð CDG＝90°，DE＝DG，∴△ADE@ △CDG，∴Ð 1＝Ð 2，∵Ð 2＋Ð 3＝90°， 　　∴Ð 1＋Ð 3＝90°，∴Ð AHG＝180°－(Ð 1＋Ð 3)＝180°－90°＝90°，∴AE^ GC． 　　(2)答：成立．　　[证明]延长AE和GC相交于点H．在正方形ABCD与正方形DEFG中，AD＝DC，DE＝DG，Ð ADC＝Ð DCB＝Ð B＝Ð BAD＝Ð EDG＝90°， 　　∴Ð 1＝Ð 2＝90°－Ð 3，∴△ADE@ △CDG， 　　∴Ð 5＝Ð 4，又∵Ð 5＋Ð 6＝90°， 　　Ð 4＋Ð 7＝180°－Ð DCE＝180°－90°＝90°，Ð 6＝Ð 7， 　　又∵Ð 6＋Ð AEB＝90°　∴Ð AEB＝Ð CEH， 　　∴Ð CEH＋Ð 7＝90°，∴Ð EHC＝90°，∴AE^ GC．