Question

（1）计算：如图①，直径为a的三等圆⊙O₁、⊙O₂、⊙O₃两两外切，切点分别为A、B、C ，求O₁A的长（用含的代数式表示）。

（2）探索:若干个直径为a的圆圈分别按如图10②所示的方案一和如图10③所示的方案二的方式排放，探索并求出这两种方案中n层圆圈的高度h_n和h_n′（用含n、a的代数式表示）；
（3）应用：现有长方体集装箱，其内空长为5米，宽为3.1米，高为3.1米，用这样的集装箱装运长为5米，底面直径（横截面的外圆直径）为0.1米的圆柱形钢管，你认为采用（2）中的哪种方案在该集装箱中装运钢管数最多？并求出一个这样的集装箱最多能装运多少根钢管？（≈1.73）

Answer 1

解（1）∵⊙O₁、⊙O₂、⊙O₃两两外切，
∴O₁O₂=O₂O₃=O₁O₃=a
又∵O₂A=O₃A
∴O₁A⊥O₂O₃
∴O₁A=
（2）h_n=na，h_n′=（n-1）a+a；
（3）方案二装运钢管最多，
即：按图③的方式排放钢管，放置根数最多，
根据题意，第一层排放31根，第二层排放30根，设钢管的放置层数为n，可得（n-1）×0.1≤3.1，
解得n≤35.68，
∵n为正整数，
∴n=35，
钢管放置的最多根数为：31×18+30×17=1068（根）。