Question

如图，一次函数y=-

3

4

x+3的图象与x轴和y轴分别交于点A和B，再将△AOB沿直线CD对折，使点A与点B重合、直线CD与x轴交于点C，与AB交于点D．
（1）点A的坐标为

 

，点B的坐标为

 

；
（2）求OC的长度；
（3）在x轴上有一点P，且△PAB是等腰三角形，不需计算过程，直接写出点P的坐标．

Answer 1

分析：（1）令y=0求出x的值，再令x=0求出y的值即可求出A、B两点的坐标；
（2）OC=x，根据翻折变换的性质用x表示出BC的长，再根据勾股定理求解即可；
（3）根据x轴上点的坐标特点设出P点的坐标，再根据两点间的距离公式解答即可．

解答：解：（1）令y=0，则x=4；令x=0，则y=4，
故点A的坐标为（4，0），点B的坐标为（0，3）．（每空1分）

（2）设OC=x，则AC=CB=4-x，
∵∠BOA=90°，
∴OB²+OC²=CB²，
3²+x²=（4-x）²，（2分）
解得x=

7

8

，
∴OC=

7

8

．（3分）

（3）设P点坐标为（x，0），
当PA=PB时，

(x-4)2

=

x2+9

，解得x=

7

8

；
当PA=AB时，

(x-4)2

=

42+32

，解得x=9或x=-1；
当PB=AB时，

x2+32

=

42+32

，解得x=-4．
∴P点坐标为（

7

8

，0），（-4，0），（-1，0），（9，0）．（2分）

点评：此题比较复杂，考查的是坐标轴上点的坐标特点、勾股定理及两点间的距离公式，在解（2）时要注意分类讨论，不要漏解．