题目内容

如图，△ABC中，D、E、F分别为CB、AC、AB的中点，AD、BE、CF相交于O点，AB=6，BC=10，AC=8，试求出线段DE、OA、OF的长度与∠EDF大小．

解：∵在△ABC中，AB=6，BC=10，AC=8，
∴BC²=AB²+AC²，
∴△ABC是直角三角形，且∠CAB=90°．
∵点O是△ABC的重心，AD= $\text{[math]}$ BC=5，
∴OA= $\text{[math]}$ AD= $\text{[math]}$ ．
在直角△AFC中，CF= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∴OF= $\text{[math]}$ FC= $\text{[math]}$ ．
∵△ABC中，D、E、F分别为CB、AC、AB的中点，
∴DE、EF、FD是△ABC的三条中位线．
∴DE= $\text{[math]}$ AB=3，EF= $\text{[math]}$ BC=5，FD= $\text{[math]}$ AC=4，
∴EF²=DE²+FD²，
∴△EFD是直角三角形，且∠EDF=90°．
综上所述，DE=3，OA= $\text{[math]}$ ，OF= $\text{[math]}$ ，∠EDF=90°．
分析：根据勾股定理的逆定理推知△EFD、△ABC是直角三角形，由“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”求得AD= $\text{[math]}$ BC=5，然后根据三角形重心的性质求得OA的长度．
点评：本题考查了直角三角形斜边上的中线、勾股定理的逆定理以及三角形的重心．三角形的中位线等于第三边的一半；直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；三角形的重心把三角形的中线分为1：2两部分．