Question

【题目】利川市南门大桥是上世纪90年代修建的一座石拱桥，其主桥孔的横截面是一条抛物线的一部分，2019年在维修时，施工队测得主桥孔最高点到水平线的高度为.宽度为.如图所示，现以点为原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系.

（1）直接写出点及抛物线顶点的坐标；

（2）求出这条抛物线的函数解析式；

（3）施工队计划在主桥孔内搭建矩形“脚手架”，使点在抛物线上，点在水平线上，为了筹备材料，需求出“脚手架”三根钢管的长度之和的最大值是多少？请你帮施工队计算.

Answer 1

【答案】（1）；（2），；（3）三根钢管的长度之和的最大值是.

【解析】

（1）根据题意，即可写出点及抛物线顶点的坐标；

（2）抛物线过原点，故设抛物线为，将M和P的坐标代入即可求出抛物线的解析式；

（3）设，分别用含x的式子表示出的长度，设“脚手架”三根钢管的长度之和为，即可求出与x的函数关系式，最后利用二次函数求最值即可．

解：（1）由题意可知：抛物线顶点；

（2）抛物线过原点，故设抛物线为，

由在抛物线上有

，解得，

所以抛物线的函数解析式为，由图象可知；

（3）设，

根据点A在抛物线上和矩形的性质可得

，

∵点A和点D关于抛物线的对称轴对称

∴点D的坐标为（60－x，y）

∴

设“脚手架”三根钢管的长度之和为，则

，

即

当时，，

所以，三根钢管的长度之和的最大值是．